자연계열 2번

[2.1] 주어진 선분을 이용하여 찾을 수 있는 서로 다른 사각형의 개수는 $\displaystyle {}_{10}\mathrm{C}_2\times{}_{10}\mathrm{C}_2=2025$이다.

[2.2] $\displaystyle n=9$일 때 찾을 수 있는 가장 작은 사각형의 넓이 $\displaystyle a_9$는 $\displaystyle \frac19\times\frac19=\frac1{81}$이고, 두 번째로 작은 사각형의 넓이는 $\displaystyle \frac19\times\frac29=\frac2{81}>a_8=\frac1{64}$이다.

따라서 문제의 조건을 만족하는 사각형의 개수는, 문항 [2.1]에서 구한 사각형의 개수에서 $\displaystyle a_9$의 개수 $\displaystyle 81$을 뺀 값과 같으므로 $\displaystyle 2025-81=1944$이다.

[2.3] $\displaystyle a_k$는 $\displaystyle \frac1{k^2}$이고, $\displaystyle m\geq2$인 모든 자연수 $\displaystyle m$에 대하여 $\displaystyle n=m$일 때 찾을 수 있는 두 번째로 넓이가 큰 사각형의 넓이는 $\displaystyle 1-\frac1m$이다.

따라서 주어진 명제 $\displaystyle p(m)$은 다음과 같다.$\displaystyle p(m)$: $\displaystyle n=m$일 때 $\displaystyle 1-\frac1m>\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\cdots+\frac1{m^2}$$\displaystyle m=2$일 때 $\displaystyle \frac12>\frac1{2^2}$이므로 $\displaystyle p(2)$가 성립한다.

(ii) $\displaystyle m=k$일 때 $\displaystyle p(k)$가 성립한다고 가정하자.$\displaystyle 1-\frac1k>\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\cdots+\frac1{k^2}$양변에 $\displaystyle \frac1{(k+1)^2}$을 더하면$\displaystyle 1-\frac1k+\frac1{(k+1)^2}>\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\cdots+\frac1{k^2}+\frac1{(k+1)^2}$이다. 이때$\displaystyle 1-\frac1k+\frac1{(k+1)^2}=1-\frac{k^2+k+1}{k(k+1)^2},\quad\frac{k^2+k+1}{k(k+1)^2}>\frac{k^2+k}{k(k+1)^2}=\frac1{k+1}$이므로$\displaystyle 1-\frac1{k+1}>1-\frac1k+\frac1{(k+1)^2}>\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\cdots+\frac1{k^2}+\frac1{(k+1)^2}$이다. 따라서 $\displaystyle p(k+1)$이 성립한다.(i), (ii)에 의해서 $\displaystyle p(m)$은 $\displaystyle m\geq2$인 모든 자연수 $\displaystyle m$에 대하여 성립한다.