자연계열 1-1번

[1.1]$\displaystyle y=g(x)$의 그래프는 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프를 $\displaystyle x$축에 대하여 대칭이동한 후 $\displaystyle x$축의 방향으로 $\displaystyle 2$만큼 평행이동한 그래프이므로$\displaystyle g(x)=-\left\{\frac14(x-2)^2+(x-2)+3\right\}=-\frac14x^2-2$이다.

직선의 방정식 $\displaystyle y=ax+b$와 $\displaystyle y=f(x)$를 연립하면$\displaystyle \frac14x^2+x+3=ax+b\Rightarrow\frac14x^2+(1-a)x+3-b=0$이고, 이 이차방정식의 판별식이 $\displaystyle 0$이어야 하므로 $\displaystyle a^2-2a-2+b=0$이다. 직선의 방정식 $\displaystyle y=ax+b$와 $\displaystyle y=g(x)$를 연립하면$\displaystyle -\frac14x^2-2=ax+b\Rightarrow-\frac14x^2-ax-2-b=0$이고, 이 이차방정식의 판별식이 $\displaystyle 0$이어야 하므로 $\displaystyle a^2-2-b=0$이다. 정리된 두 방정식을 연립하면, $\displaystyle a=-1$, $\displaystyle b=-1$ 또는 $\displaystyle a=2$, $\displaystyle b=2$이다. 따라서 두 그래프와 동시에 접하는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=-x-1$ 또는 $\displaystyle y=2x+2$이다.