자연계열 3번

[3.1]부분적분법을 적용하면$\displaystyle \int2e^x\sin x\,dx=2e^x\sin x-\int2e^x\cos x\,dx$이다. 우변의 부정적분에 부분적분법을 적용하면$\displaystyle \int2e^x\cos x\,dx=2e^x\cos x+\int2e^x\sin x\,dx$이다.

이를 첫 번째 식에 대입하면$\displaystyle \int2e^x\sin x\,dx=e^x(\sin x-\cos x)+C$ (단, $\displaystyle C$는 적분상수)를 얻는다.

[3.2]$\displaystyle e^x>0$이므로, $\displaystyle [2n\pi,(2n+1)\pi]$에서 $\displaystyle 2e^x\sin x\geq0$이고 $\displaystyle [(2n+1)\pi,(2n+2)\pi]$에서 $\displaystyle 2e^x\sin x\leq0$이다. 따라서 구하는 도형의 넓이는$\displaystyle A_n=\int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi}2e^x\sin x\,dx-\int_{(2n+1)\pi}^{(2n+2)\pi}2e^x\sin x\,dx$

$\displaystyle \begin{aligned}&=\Biggl[e^x(\sin x-\cos x)\Biggr]_{2n\pi}^{(2n+1)\pi}-\Biggl[e^x(\sin x-\cos x)\Biggr]_{(2n+1)\pi}^{(2n+2)\pi}\\&=e^{(2n+1)\pi}+e^{2n\pi}+e^{(2n+2)\pi}+e^{(2n+1)\pi}\\&=e^{2n\pi}(1+e^\pi)^2\end{aligned}$이다.

[3.3] 문항[3.2]로부터 $\displaystyle \ln A_k-2\ln(1+e^\pi)=\ln\frac{A_k}{(1+e^\pi)^2}=2k\pi$이므로

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac1{n^8}\{\ln A_k-2\ln(1+e^\pi)\}^7=(2\pi)^7\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\left(\frac kn\right)^7\frac1n$이 성립한다. 정적분과 급수의 합 사이의 관계에 의하여, 구하는 극한값은$\displaystyle (2\pi)^7\int_0^1x^7\,dx=16\pi^7$이다.