자연계열 1-2번

[1.2]$\displaystyle f(x)$는 최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$인 사차함수이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 최고차항의 계수가 $\displaystyle 4$인 삼차함수이다. 조건 (가)에 의해 $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 이차항의 계수와 상수항은 $\displaystyle 0$이다. 따라서$\displaystyle f^{\prime}(x)=4x^3+ax$이다.

조건 (나)에 의해 $\displaystyle f^{\prime}(2)=0$이므로 $\displaystyle a=-16$이다. 즉,$\displaystyle f^{\prime}(x)=4x^3-16x$이다. 이를 적분하면 $\displaystyle f(x)=x^4-8x^2+C$ (단, $\displaystyle C$는 적분상수)이고 다시 조건 (나)에 의해$\displaystyle f(2)=16-32+C=-13$이므로 $\displaystyle C=3$이다. 즉, $\displaystyle f(x)=x^4-8x^2+3$이다.