자연계열 1-2번

[1.2]$\displaystyle 0<a<1$일 때 $\displaystyle f(x)=a^x+b$의 그래프 $\displaystyle y=f(x)$와 그 역함수의 그래프와의 교점은 $\displaystyle (1,2)$, $\displaystyle (2,1)$이어야 한다. 따라서 두 방정식 $\displaystyle f(1)=a+b=2$, $\displaystyle f(2)=a^2+b=1$을 연립하면 $\displaystyle a^2-a+1=0$이다. 이 방정식의 판별식은 $\displaystyle 0$보다 작으므로 이를 만족하는 실수 $\displaystyle a$값은 존재하지 않는다. 따라서 $\displaystyle a>1$이다.함수 $\displaystyle f(x)=a^x+b$에 대하여 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프와 그 역함수의 그래프와의 교점은 함수 $\displaystyle f(x)=a^x+b$의 그래프 $\displaystyle y=f(x)$와 직선 $\displaystyle y=x$의 교점과 같다. 방정식 $\displaystyle a^x+b=x$의 두 근이 1, 2이므로, 다음 연립 이차 방정식을 얻을 수 있다.$\displaystyle \begin{cases}a+b=1\\a^2+b=2\end{cases}$

$\displaystyle a=\frac{1+\sqrt5}2$, $\displaystyle b=\frac{1-\sqrt5}2$ 또는 $\displaystyle a=\frac{1-\sqrt5}2$, $\displaystyle b=\frac{1+\sqrt5}2$이다. $\displaystyle a>0$이므로 $\displaystyle a-b$의 값은 $\displaystyle \sqrt5$이다.