자연계열 3번

[3.1]원점과 점 P 사이의 거리는 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}=\sqrt{(e^{2t}\cos t)^2+(e^{2t}\sin t)^2}=e^{2t}$이다. $\displaystyle t=0$에서 $\displaystyle t=\pi$일 때까지 점 P가 움직이므로, $\displaystyle t=\pi$일 때 원점과 점 P 사이의 거리 $\displaystyle e^{2\pi}$이 원의 반지름의 길이 $\displaystyle 3^N$ 이상이 되는 최대 자연수 $\displaystyle N$을 구하자.$\displaystyle 3^N\leq e^{2\pi}$

$\displaystyle \Rightarrow N\ln3\leq2\pi\Rightarrow N\leq\frac{2\pi}{\ln3}$이고, 주어진 조건 $\displaystyle 1.09<\ln3<1.10$에서 $\displaystyle \frac{2\pi}{1.10}<\frac{2\pi}{\ln3}<\frac{2\pi}{1.09}$이므로 $\displaystyle 5<\frac{2\pi}{\ln3}<6$임을 알 수 있다.따라서 $\displaystyle N=5$이다.

[3.2]점 P가 마지막으로 만난 원의 반지름의 길이가 $\displaystyle 3^5$이므로, 이때의 시각 $\displaystyle t$를 구하면 다음과 같다.$\displaystyle e^{2t}=3^5\Rightarrow t=\frac52\ln3$

또한 $\displaystyle \frac{dx}{dt}=2e^{2t}\cos t-e^{2t}\sin t$, $\displaystyle \frac{dy}{dt}=2e^{2t}\sin t+e^{2t}\cos t$이고$\displaystyle \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}=\sqrt{4e^{4t}+e^{4t}}=\sqrt5e^{2t}$이므로 점 P가 움직인 거리는$\displaystyle \int_0^{\frac52\ln3}\sqrt5e^{2t}\,dt=\sqrt5\Biggl[\frac{e^{2t}}2\Biggr]_0^{\frac52\ln3}=\frac{\sqrt5}2(243-1)=121\sqrt5$이다.

[3.3]정적분을 계산하면$\displaystyle \int_{k-1}^k\pi\sin(\pi x)\,dx=\Biggl[-\cos(\pi x)\Biggr]_{k-1}^k=-\cos(k\pi)+\cos(k-1)\pi=2(-1)^{k-1}$

이고 $\displaystyle N=5$이므로$\displaystyle \sum_{k=5}^\infty\left(-\frac12\right)^{k-1}\times\{2(-1)^{k-1}\}=\sum_{k=5}^\infty\left(\frac12\right)^{k-2}=\frac{\frac18}{1-\frac12}=\frac14$이다.