자연계열 1번

(문제 1-1)의 예시답안

$\displaystyle S_1=\int_0^12kx(1-x)\,dx=2k\Biggl[\frac x2-\frac{x^2}3\Biggr]_0^1=\frac k3$Correction. 적분 경계항의 $\displaystyle x/2-x^2/3$은 $\displaystyle x^2/2-x^3/3$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle S_2=\int_0^kx(k-x)\,dx=\Biggl[\frac{kx^2}2-\frac{x^3}3\Biggr]_0^k=\frac{k^3}6$

(문제 1-2)의 예시답안

$\displaystyle S_1$과 $\displaystyle S_2$의 값이 같기 위해서는 $\displaystyle \frac k3=\frac{k^3}6$ 식이 성립해야 한다. 따라서 $\displaystyle k(k^2-2)=0$ 식이 성립하고 $\displaystyle k$의 값이 양수이므로 $\displaystyle k=\sqrt2$의 결과를 얻을 수 있다. 이 결과를 대입하면 넓이 $\displaystyle S_1$, $\displaystyle S_2$의 값은 $\displaystyle \frac{\sqrt2}3$이다.