자연계열 4번

(문제 4-1)의 예시답안

$\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$$\displaystyle f^{\prime}(x)=0$에서 $\displaystyle x=-1$ 또는 $\displaystyle x=1$따라서 닫힌구간 $\displaystyle [a,1]$에서 함수 $\displaystyle f(x)=x^3-3x+2$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.표에 의해 닫힌구간 $\displaystyle [a,1]$에서 함수 $\displaystyle f(x)$의 최솟값을 구하면

(경우 1) $\displaystyle a\ge-1$

구간 $\displaystyle [a,1]$에서 함수 $\displaystyle f$는 감소하므로 최솟값 $\displaystyle m(a)=f(1)=0\ (-1\le a<1)$

(경우 2) $\displaystyle a<-1$

구간 $\displaystyle [a,1]$을 두 부분으로 나누면, $\displaystyle [a,-1]$에서 $\displaystyle f$는 증가하고 $\displaystyle [-1,1]$에서 $\displaystyle f$는 감소하므로,$\displaystyle [a,-1]$에서 최솟값은 $\displaystyle f(a)$이고 $\displaystyle [-1,1]$에서 최솟값은 $\displaystyle f(1)=0$이다.따라서 $\displaystyle m(a)$는 $\displaystyle f(a)$와 $\displaystyle f(1)=0$ 중 작은 값이다.이제 $\displaystyle f(a)<0$인 $\displaystyle a$를 구하면$\displaystyle f(a)=a^3-3a+2=(a-1)^2(a+2)<0$이고 $\displaystyle (a-1)^2>0$이므로 $\displaystyle a+2<0\Leftrightarrow a<-2$따라서 $\displaystyle m(a)$는 다음과 같다.$\displaystyle m(a)=\begin{cases}a^3-3a+2,&a<-2\\0,&-2\le a<1\end{cases}$

[채점 기준]

(문제 4-2)의 예시답안

$\displaystyle m(0)+m(-1)+m(-2)+m(-3)=0+0+0-16=-16$