자연계열 3번

(문제 3-1)의 예시답안

$\displaystyle \log_{\frac12}x=t$라 하면 주어진 식 $\displaystyle (\log_{\frac12}x^3)(\log_{\frac12}5x)=17$에 의해

$\displaystyle (\log_{\frac12}x^3)(\log_{\frac12}5x)=(3\log_{\frac12}x)(\log_{\frac12}5+\log_{\frac12}x)=3t(\log_{\frac12}5+t)=17$이므로

이차방정식 $\displaystyle 3t^2+3(\log_{\frac12}5)t-17=0$을 얻는다.

이차방정식의 두 근을 $\displaystyle t_1$, $\displaystyle t_2$라 하면 이차방정식의 근과 계수의 관계로부터$\displaystyle t_1+t_2=-\frac{3\log_{\frac12}5}{3}=-\log_{\frac12}5\quad\cdots\text{(1)}$

이므로 $\displaystyle t_1+t_2=\log_{\frac12}\alpha+\log_{\frac12}\beta=\log_{\frac12}\alpha\beta$이고 $\displaystyle -\log_{\frac12}5=\log_{\frac12}\frac15$이 된다.

이제 (1)식에 의해 다음 방정식을 풀면 된다.

$\displaystyle \log_{\frac12}\alpha\beta=\log_{\frac12}\frac15$ 로그의 진수는 양수이므로 $\displaystyle \alpha\beta>0$이고 로그함수의 성질에 따라 $\displaystyle \alpha\beta=\frac15$이다.

이때 $\displaystyle \alpha\beta$가 양수이므로 주어진 방정식의 해가 된다.