자연계열 8번

풀이

점 $\displaystyle \mathrm{A}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{A}(x,0)$이고, 점 $\displaystyle \mathrm{A}$를 지나고 $\displaystyle x$축에 수직인 직선이 곡선 $\displaystyle y=\sin x$와 만나는 점은 $\displaystyle \mathrm{D}(x,\sin x)$이다. 점 $\displaystyle \mathrm{A}$와 $\displaystyle \mathrm{D}$를 각각 $\displaystyle y$축에 대하여 대칭이동한 점 $\displaystyle \mathrm{B}$, $\displaystyle \mathrm{C}$는 각각 $\displaystyle \mathrm{B}(-x,0)$, $\displaystyle \mathrm{C}(-x,\sin x)$이다.따라서 직사각형 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$의 가로와 세로 길이는 각각 다음과 같다:$\displaystyle |x-(-x)|=2|x|,\ |\sin x-0|=|\sin x|$그러므로 넓이 $\displaystyle S(x)$는$\displaystyle S(x)=2|x||\sin x|$이다.

그런데 $\displaystyle x\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$에서 $\displaystyle x$와 $\displaystyle \sin x$는 항상 부호가 같으므로 $\displaystyle |x||\sin x|=x\sin x$이다.따라서 넓이 $\displaystyle S(x)=2x\sin x$로 나타낼 수 있고, 다음이 성립하므로 $\displaystyle S(x)$는 우함수이다.$\displaystyle S(-x)=2(-x)\sin(-x)=2x\sin x=S(x)$

따라서$\displaystyle \begin{aligned}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}S(x)\,dx&=2\int_0^{\pi/2}S(x)\,dx\\&=2\int_0^{\pi/2}2x\sin x\,dx\\&=4\int_0^{\pi/2}x\sin x\,dx\end{aligned}$

부분적분을 이용하여 최종 적분식을 계산한다.$\displaystyle \begin{aligned}4\int_0^{\pi/2}x\sin x\,dx&=4\Biggl[-x\cos x+\sin x\Biggr]_0^{\pi/2}\\&=4\left\{\left(-\frac\pi2\cos\frac\pi2+\sin\frac\pi2\right)-(0\cdot\cos0+\sin0)\right\}\\&=4(1-0)\\&=4\end{aligned}$

따라서 구하는 값은 4이다.