연세대 미래캠퍼스 2027학년도 모의 자연계열 7번 해설

문제 7 아래의 제시문을 읽고 풀이와 함께 답하시오. (10점)

함수 $\displaystyle f(x)$ 는 닫힌 구간 $\displaystyle [1,4]$ 에서 $\displaystyle f(x)=\begin{cases}x^2-2x+2&(1\le x\le2)\\a(x-2)^3+b&(2<x\le4)\end{cases}$ 로 정의된다. 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f(x)=f(x-3)$ 을 만족시키는 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, $\displaystyle f(2026)$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 는 상수)

연세대 미래캠퍼스 2027학년도 모의 자연계열 7번 · mathesis.kr/archive/yonsei_mirae/2027mo/jayeon_7

모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f(x)=f(x-3)$ 이므로 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 주기가 3인 함수이다. 또한 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $\displaystyle x=2$ 에서 연속이다.

(1) $\displaystyle x=2$ 에서 연속이므로, $\displaystyle f(2)=\lim_{x\to2^+}f(x)=\lim_{x\to2^-}f(x)$ 이다.

$\displaystyle f(2)=2^2-2\cdot2+2=2$ 이고 $\displaystyle \lim_{x\to2^+}f(x)=\lim_{x\to2^+}(a(x-2)^3+b)=b$ 이므로 $\displaystyle b=2$ 이다.

또한, 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 주기가 3이므로 $\displaystyle f(4)=f(1)$ 이 된다. $\displaystyle f(1)=1-2\cdot1+2=1$ 이고 $\displaystyle f(4)=2^3a+b=8a+b=8a+2$ 이므로, $\displaystyle 8a+2=1$ 이고 $\displaystyle a=-\frac18$ 이 된다.

이제, $\displaystyle 2026=3\cdot675+1$ 이고 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 주기 3을 갖기 때문에 $\displaystyle f(2026)=f(1)=1$

(1) 주기성 해석 [10점]① $\displaystyle f(x)=f(x-3)\Rightarrow$ 주기 3 언급/활용 [10점] $\displaystyle f(4)=f(1)$ 만 올바르게 사용해도 [6점] 인정

(2) $\displaystyle x=2$ 에서 연속 조건으로 $\displaystyle b$ 결정 [20점]① $\displaystyle f(2)=2$ 계산 [5점]② $\displaystyle x\to2^+$ 에서 우함수 극한이 $\displaystyle b$ 임을 제시 [7점]③ 연속이므로 $\displaystyle b=2$ 결론 [8점]극한 표현 없이 “2에서 좌우 값 같음”으로 $\displaystyle b=2$ 만 맞추면 최대 [12점]

(3) 주기 조건으로부터 $\displaystyle a$ 결정 [15점]① 주기 3 $\displaystyle \Rightarrow f(4)=f(1)$ 설정 [5점]② $\displaystyle f(1)=1$ , $\displaystyle f(4)=8a+b$ 계산 [5점]③ $\displaystyle b=2$ 대입하여 $\displaystyle 8a+2=1\Rightarrow a=-\frac18$ [5점] $\displaystyle b$ 를 앞에서 틀렸더라도 본인 $\displaystyle b$ 로 일관되게 $\displaystyle a$ 를 구하면 방법점수 [3점] 인정

(4) $\displaystyle f(2026)$ 계산 [5점]① $\displaystyle 2026=3\times675+1$ [3점]② $\displaystyle f(2026)=f(1)=1$ 결론 [2점]최종값만 맞추고 과정 없으면 [2점]Correction. 채점기준의 합계는 50점으로, 문제에 제시된 10점과 다르다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.

자연계열 7번

문제

첨삭 사례

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개