자연계열 10번

연세대 미래캠퍼스 2027학년도 모의 자연계열 10번 · mathesis.kr/archive/yonsei_mirae/2027mo/jayeon_10

문제 10 아래의 제시문을 읽고 문항별로 답하시오. (10점)

인류는 화성 탐사를 위해 새로운 소형 탐사 우주선을 개발하였다. 이 우주선은 화성 대기권 진입 후 일정 시간 동안 추진기를 이용해 속도를 조절하며 이동한다. 연구팀은 우주선의 속도가 시간에 따라 다음과 같은 함수로 표현된다는 것을 알아냈다. $\displaystyle f(t)=-t^2+6t\qquad(0\le t\le6)$ 여기서, $\displaystyle t$ : 시간 (초), $\displaystyle f(t)$ : 우주선의 속도 (m/s)이 속도 모델을 이용하여 우주선의 이동을 분석하려 한다.

문제 10-1 우주선이 $\displaystyle t=0$ 초부터 $\displaystyle t=6$ 초까지 이동한 변위를 정적분을 이용하여 구하여라. (2점)

문제 10-2 함수 $\displaystyle f(t)$ 의 그래프를 바탕으로 다음을 설명하시오.1) 시간이 증가함에 따라 우주선의 속도가 어떻게 변하는지 설명하시오. (2점)2) 우주선이 어느 시간 구간에서 더 많은 거리를 이동하는지 그래프의 면적을 이용하여 설명하시오. (3점)3) 그래프의 기울기를 이용하여 우주선의 속도 변화가 급격한지 또는 완만한지 설명하시오. (3점)

해설강의 준비중

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(문제 10-1)의 예시답안 및 채점기준

+1점 · 정적분이 누적량(변위)을 의미함을 이해하고 적분 구간 0~6을 올바르게 설정함

+1점 · 정적분 계산을 정확히 수행하여 결과 36을 구함

(1) 변위 계산 (정적분 이해) (2점)속도 함수 $\displaystyle f(t)=-t^2+6t$ 우주선의 변위는 속도의 정적분으로 구한다. $\displaystyle \begin{aligned}\int_0^6f(t)\,dt&=\int_0^6(-t^2+6t)\,dt\\&=\Biggl[-\frac{t^3}3+3t^2\Biggr]_0^6=\left(-\frac{216}3+3\cdot36\right)-0=(-72+108)=36\end{aligned}$ 따라서, 전체 변위는 36 이다.

(문제 10-2)의 예시답안 및 채점기준

+1점 · 포물선 형태 및

\displaystyle t=0

, 6에서 값이 0임을 설명

+1점 ·

\displaystyle t=3

에서 최대값을 갖는 구조를 설명

1) 그래프 형태 설명 (2점)이 함수는 아래로 열린 포물선이다. $\displaystyle f(t)=-(t-3)^2+9$ 이므로 꼭짓점은 $\displaystyle (t,f(t))=(3,9)$ 이다. 또한, $\displaystyle f(0)=0$ , $\displaystyle f(6)=0$ 이므로 속도는• $\displaystyle t=0$ 에서 0으로 시작하여, $\displaystyle t=3$ 까지 증가하고,• 3초 최대속도• 이후, 감소하여 $\displaystyle t=6$ 에서 속도가 다시 0이 된다.따라서, 움직임은 시간 전체에 균등하게 분포되지 않고, 속도 함수가 $\displaystyle t=3$ 에서 최대값을 가지므로, 누적 변위는 $\displaystyle t=3$ 부근에서 가장 빠르게 증가한다.

+2점 ·

\displaystyle 0<t<3

구간에서는 함수값이 증가,

\displaystyle 3<t<6

구간에서는 함수값이 감소 구조 설명

2) 누적량 증가 과정과 움직임 분포 해석 (3점)누적 변위를 $\displaystyle A(t)=\int_0^tf(s)\,ds$ 라고 하면, $\displaystyle A^{\prime}(t)=f(t)$ 이다.따라서, 누적량의 증가 속도는 속도 함수 $\displaystyle f(t)$ 의 값에 의해 결정된다.• $\displaystyle 0<t<3$ : $\displaystyle f(t)$ 증가 $\displaystyle \Rightarrow$ 누적량 $\displaystyle A(t)$ 점점 빠르게 증가• $\displaystyle 3<t<6$ : $\displaystyle f(t)$ 감소 $\displaystyle \Rightarrow$ 누적량 여전히 증가하지만, 증가 속도 감소또한 $\displaystyle f(0)=f(6)=0$ 이므로 누적량 그래프의 기울기는 시작점과 끝점에서 0이 된다.

+1점 · 이를 통해 움직임이 중간 구간 (특히

\displaystyle t=3

부근)에 집중되어 있음을 해석

즉, 누적량은 전체적으로 증가하지만, $\displaystyle t=3$ 부근에서 가장 빠르게 증가하며, 움직임은 중간 시간대에 상대적으로 집중되는 분포를 가진다고 해석할 수 있다.

+1점 · 변화율 집중이 제어 부담을 증가시킬 수 있음을 설명

3) 효율적 움직임의 그래프 특성 설명 (3점)우주 공간에서는 외부 기준점이 거의 없으며, 미세한 추진력과 자세 제어에 의해 움직임이 조절된다. 따라서 변화율이 특정 구간에서 크게 증가하는 경우, 제어 부담이 특정 시점에 집중될 수 있다.

+1점 · 누적량이 일정한 속도로 증가하는 움직임이 안정적임을 설명

누적량 함수 $\displaystyle A(t)$ 가 시간에 따라 보다 일정한 속도로 증가하려면 $\displaystyle A^{\prime}(t)=f(t)$ 이므로, 속도 함수 $\displaystyle f(t)$ 가 시간 전체에 걸쳐 비교적 균등한 값을 갖는 것이 바람직하다.

+1점 · 피크가 낮고 완만한 함수 형태가 바람직함을 설명

현재 함수는 중앙에서 큰 피크를 갖는 포물선 형태이므로, 움직임이 중간 구간에 집중되는 특성을 가진다.보다 안정적인 제어를 위해서는• 최고점(피크)을 낮추고• 증가와 감소를 완만하게 하여• 시간 전반에 걸쳐 움직임이 분산되도록그래프 형태를 조정하는 것이 바람직하다.Comment. 대학 예시답안에는 가속도와 기울기를 직접 구하는 계산이 빠져 있다. $\displaystyle f^{\prime}(t)=6-2t$ 이므로 $\displaystyle |f^{\prime}(t)|=2|t-3|$ 은 $\displaystyle t=3$ 까지 감소하고 그 이후 증가한다.

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