자연계열 10번

(1) 변위 계산 (정적분 이해) (2점)속도 함수$\displaystyle f(t)=-t^2+6t$우주선의 변위는 속도의 정적분으로 구한다.$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^6f(t)\,dt&=\int_0^6(-t^2+6t)\,dt\\&=\Biggl[-\frac{t^3}3+3t^2\Biggr]_0^6=\left(-\frac{216}3+3\cdot36\right)-0=(-72+108)=36\end{aligned}$따라서, 전체 변위는 36 이다.

1) 그래프 형태 설명 (2점)이 함수는 아래로 열린 포물선이다.$\displaystyle f(t)=-(t-3)^2+9$이므로 꼭짓점은$\displaystyle (t,f(t))=(3,9)$이다. 또한,$\displaystyle f(0)=0$, $\displaystyle f(6)=0$이므로 속도는• $\displaystyle t=0$에서 0으로 시작하여, $\displaystyle t=3$까지 증가하고,• 3초 최대속도• 이후, 감소하여 $\displaystyle t=6$에서 속도가 다시 0이 된다.따라서, 움직임은 시간 전체에 균등하게 분포되지 않고, 속도 함수가 $\displaystyle t=3$에서 최대값을 가지므로, 누적 변위는 $\displaystyle t=3$ 부근에서 가장 빠르게 증가한다.

2) 누적량 증가 과정과 움직임 분포 해석 (3점)누적 변위를$\displaystyle A(t)=\int_0^tf(s)\,ds$라고 하면,$\displaystyle A^{\prime}(t)=f(t)$이다.따라서, 누적량의 증가 속도는 속도 함수 $\displaystyle f(t)$의 값에 의해 결정된다.• $\displaystyle 0<t<3$: $\displaystyle f(t)$ 증가 $\displaystyle \Rightarrow$ 누적량 $\displaystyle A(t)$ 점점 빠르게 증가• $\displaystyle 3<t<6$: $\displaystyle f(t)$ 감소 $\displaystyle \Rightarrow$ 누적량 여전히 증가하지만, 증가 속도 감소또한$\displaystyle f(0)=f(6)=0$이므로 누적량 그래프의 기울기는 시작점과 끝점에서 0이 된다.즉, 누적량은 전체적으로 증가하지만, $\displaystyle t=3$ 부근에서 가장 빠르게 증가하며, 움직임은 중간 시간대에 상대적으로 집중되는 분포를 가진다고 해석할 수 있다.

3) 효율적 움직임의 그래프 특성 설명 (3점)우주 공간에서는 외부 기준점이 거의 없으며, 미세한 추진력과 자세 제어에 의해 움직임이 조절된다. 따라서 변화율이 특정 구간에서 크게 증가하는 경우, 제어 부담이 특정 시점에 집중될 수 있다.누적량 함수 $\displaystyle A(t)$가 시간에 따라 보다 일정한 속도로 증가하려면 $\displaystyle A^{\prime}(t)=f(t)$이므로, 속도 함수 $\displaystyle f(t)$가 시간 전체에 걸쳐 비교적 균등한 값을 갖는 것이 바람직하다.

현재 함수는 중앙에서 큰 피크를 갖는 포물선 형태이므로, 움직임이 중간 구간에 집중되는 특성을 가진다.보다 안정적인 제어를 위해서는• 최고점(피크)을 낮추고• 증가와 감소를 완만하게 하여• 시간 전반에 걸쳐 움직임이 분산되도록그래프 형태를 조정하는 것이 바람직하다.Comment. 대학 예시답안에는 가속도와 기울기를 직접 구하는 계산이 빠져 있다. $\displaystyle f^{\prime}(t)=6-2t$이므로 $\displaystyle |f^{\prime}(t)|=2|t-3|$은 $\displaystyle t=3$까지 감소하고 그 이후 증가한다.