자연계열 5번

풀이

$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(x)&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h&&\cdots\text{①}\\&=\lim_{h\to0}\frac{|x+h|-|x|}h&&\cdots\text{②}\\&=\begin{cases}\lim_{h\to0}\frac hh&\text{if }x>0\\\lim_{h\to0}\frac{-h}h&\text{if }x\le0\end{cases}&&\cdots\text{수정된 ③}\\&=\begin{cases}+1&\text{if }x>0\\-1&\text{if }x\le0\end{cases}&&\cdots\text{수정된 ④}\end{aligned}$Comment. $\displaystyle x=0$에서는 미분가능하지 않으므로 도함수 식의 범위 $\displaystyle x\le0$은 $\displaystyle x<0$으로 써야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

예시답안　③

$\displaystyle x>0$인 경우 $\displaystyle |x|=x$, $\displaystyle |x+h|=x+h$로 계산하고, $\displaystyle x<0$인 경우 $\displaystyle |x|=-x$, $\displaystyle |x+h|=-x-h$로 계산하여 각각의 경우 $\displaystyle +1$, $\displaystyle -1$이 나온다.