자연계열 2번

(문제 2-1)의 예시답안

$\displaystyle D_n$의 넓이: $\displaystyle \int_0^1(1-x^n)\,dx=\Biggl[x-\frac{x^{n+1}}{n+1}\Biggr]_0^1=1-\frac1{n+1}=\frac n{n+1}$

(문제 2-2)의 예시답안

$\displaystyle 0\le x\le1$에서 $\displaystyle a<b$일 때 $\displaystyle D_a$와 $\displaystyle D_b$로 둘러싸인 영역의 넓이는 다음과 같다.

$\displaystyle \int_0^1\{(1-x^b)-(1-x^a)\}\,dx=\int_0^1(x^a-x^b)\,dx=\Biggl[\frac{x^{a+1}}{a+1}-\frac{x^{b+1}}{b+1}\Biggr]_0^1=\frac1{a+1}-\frac1{b+1}$

마찬가지로, $\displaystyle b<c$일 때 $\displaystyle D_b$와 $\displaystyle D_c$로 둘러싸인 넓이는 $\displaystyle \frac1{b+1}-\frac1{c+1}$이 된다.

따라서, 두 넓이가 같다면 다음 식을 만족하여야 한다.

$\displaystyle \frac1{a+1}-\frac1{b+1}=\frac1{b+1}-\frac1{c+1}$이고, 이를 정리하면 $\displaystyle \frac1{a+1}+\frac1{c+1}=\frac2{b+1}$가 된다. 따라서, 이 식을 만족하는 $\displaystyle (a,b,c)$를 찾으면 된다.

우선 $\displaystyle A=a+1$, $\displaystyle B=b+1$, $\displaystyle C=c+1$이라고 두면,$\displaystyle B=\frac{2AC}{A+C}\qquad(2<A<B<C\le6)$Caution. 범위의 끝값을 포함하거나 제외할 때는 문제의 조건을 확인해야 한다: 자연수 $\displaystyle a$가 $\displaystyle 1$일 수 있으므로 $\displaystyle A=a+1$의 범위는 $\displaystyle 2\le A$이다. $\displaystyle 2<A$는 오기이다. 등호를 빼면 대학 답안이 구한 해 $\displaystyle (a,b,c)=(1,2,5)$가 제외된다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle B$가 자연수가 되도록 하는 자연수 $\displaystyle A$와 $\displaystyle C$의 조합은 다음과 같이 구해진다.

$\displaystyle (A=2,C=6)$일 때, $\displaystyle B=\frac{2\times2\times6}{2+6}=3$으로 만족한다.

$\displaystyle (A=3,C=6)$일 때, $\displaystyle B=\frac{2\times3\times6}{2+6}=4$로 만족한다.Correction. $\displaystyle A=3,C=6$인 경우 분모의 $\displaystyle 2+6$은 $\displaystyle 3+6$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

따라서, 가능한 $\displaystyle (a,b,c)$조합은 $\displaystyle (1,2,5)$, $\displaystyle (2,3,5)$이다.