심화 로그미분법

● 2018학년도 6월 모의평가 가형 21번 [4점]

$\displaystyle F(x)=\ln|f(x)|$의 도함수는 $\displaystyle F^{\prime}(x)=\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$이다.다항함수를 $\displaystyle f(x)=(x-\alpha)^{k}h(x)$ ($\displaystyle h(\alpha)\neq 0$)로 적으면$\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\frac{k}{x-\alpha}+\frac{h^{\prime}(x)}{h(x)}$이므로, $\displaystyle x=\alpha$에서 $\displaystyle F^{\prime}$이 갖는 극의 계수가 곧 그 근의 중복도다.로그미분법이 근의 중복도를 극한으로 읽어내는 도구가 되는 셈이다.

첫째 조건 $\displaystyle \lim_{x\to 1}(x-1)F^{\prime}(x)=3$은 그래서 $\displaystyle x=1$이 $\displaystyle f$의 삼중근이라는 말이다.$\displaystyle f$는 최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$인 사차함수이므로 $\displaystyle f(x)=(x-1)^{3}(x-a)$로 둘 수 있다.

$\displaystyle G(x)=\ln|g(x)\sin x|$에서는 곱이 로그로 갈라져 $\displaystyle G^{\prime}(x)=\frac{g^{\prime}(x)}{g(x)}+\frac{\cos x}{\sin x}$이다.$\displaystyle f$가 $\displaystyle x=0$을 $\displaystyle m$중근, $\displaystyle g$가 $\displaystyle x=0$을 $\displaystyle n$중근으로 가진다고 하자.$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x\cos x}{\sin x}=1$이므로$\displaystyle \lim_{x\to 0}xF^{\prime}(x)=m,\qquad \lim_{x\to 0}xG^{\prime}(x)=n+1$이고, 둘째 조건은 $\displaystyle \frac{m}{n+1}=\frac{1}{4}$이 된다.$\displaystyle \sin x$가 $\displaystyle x=0$에서 갖는 일중근이 $\displaystyle n$에 $\displaystyle 1$을 보태는 것이 이 문제의 급소다.

$\displaystyle f(x)=(x-1)^{3}(x-a)$이므로 $\displaystyle m$은 $\displaystyle 0$ 또는 $\displaystyle 1$뿐이다.$\displaystyle m=0$이면 극한이 $\displaystyle 0$이라 조건에 맞지 않으므로 $\displaystyle m=1$, 곧 $\displaystyle a=0$이고 $\displaystyle n+1=4$에서 $\displaystyle n=3$이다.$\displaystyle g$는 최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$인 삼차함수이므로 $\displaystyle g(x)=x^{3}$이다.

따라서 $\displaystyle f(x)=x(x-1)^{3}$, $\displaystyle g(x)=x^{3}$이고$\displaystyle f(3)+g(3)=3\cdot 2^{3}+3^{3}=24+27=51$이므로 답은 ④이다.