멱평균 | Mathesis

강의 노트

● 산술, 기하, 조화 평균

양수 $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle b$ 혹은 양수 $\displaystyle a,b,c$ 에 대하여

$\displaystyle \frac{a+b}{2}$ , $\displaystyle \frac{a+b+c}{3}$ 을 산술평균, $\displaystyle \sqrt{ab}$ , $\displaystyle \sqrt[3]{abc}$ 를 기하평균,

$\displaystyle \frac{2ab}{a+b}$ , $\displaystyle \frac{3abc}{ab+bc+ca}=\frac{1}{\dfrac{\frac1a+\frac1b+\frac1c}{3}}$ 를 조화평균이라고 한다.

● 멱평균

산술평균과 조화평균을 살펴보면 공통적인 연산체계를 알아볼 수 있다.이를 확장한 것을 멱평균이라고 한다.

멱평균은 교육과정에 포함되는 것은 아니지만, 교과서의 도전 과제로는 제시되고 있는 것을 볼 때, 수리논술 시험범위에 해당된다고 볼 수 있다.그러나 그 동안 기출문제에서 발견되지 않으므로 자세히 다루지는 않는다.

기하평균은 어떻게 멱평균에 포함되는지는 충분히 궁금할 수 있다.교과서의 도전과제로는 다음과 같은 문제가 있었다.

두 양수 $\displaystyle a,b$ 에 대하여 $\displaystyle p$ 차 평균 $\displaystyle M(p)$ 를

$\displaystyle M(p)=\begin{cases}\left(\dfrac{a^p+b^p}{2}\right)^{\!\frac1p}&(p\ne0)\\[6pt]\sqrt{ab}&(p=0)\end{cases}$

로 정의하자. 예를 들어, 일차평균인 $\displaystyle M(1)$ 은 산술평균, 영차평균인 $\displaystyle M(0)$ 은 기하평균, 음의 일차평균인 $\displaystyle M(-1)$ 은 조화평균이다.

이때, $\displaystyle\lim_{p\to0}M(p)=M(0)$ 임을 알아보자.

❶ 합성함수의 미분법을 이용하여 $\displaystyle\lim_{p\to0}\frac1p\ln\left(\frac{a^p+1}{2}\right)=\ln\sqrt a$ 임을 설명해 보자.

❷ 위 ❶의 결과를 이용하여 $\displaystyle\lim_{p\to0}\left(\frac{a^p+1}{2}\right)^{\!\frac1p}=\sqrt a$ 임을 설명해 보자.

❸ 위 ❷의 결과를 이용하여 $\displaystyle\lim_{p\to0}M(p)=M(0)$ 이 성립함을 설명해 보자.