중앙대 2022학년도 수시 경영경제계열 II 3번 해설

다음 상황에 기초하여 문제에 답하시오.

아래와 같은 게임을 통해서 선물을 주려고 한다.

● 빨간 공 2개와 파란 공 2개가 들어 있는 하나의 주머니에서 임의로 2개의 공을 동시에 꺼낸다. 이때, 서로 같은 색의 공이 나오면 꺼낸 2개의 공 중에서 1개를 버리고, 나머지 1개는 주머니에 다시 넣는다. 서로 다른 색의 공이 나오면 꺼낸 2개의 공을 모두 주머니에 다시 넣는다.

● 주머니에 남아 있는 공을 가지고 위의 절차를 한 번 더 반복한 후 게임을 종료한다.

● 게임이 종료된 후 주머니에 들어 있는 빨간 공과 파란 공의 개수가 서로 같으면, 주머니에 들어 있는 공의 개수만큼 선물을 준다. 빨간 공과 파란 공의 개수가 서로 다르면, 빨간 공과 파란 공의 개수의 차이만큼 선물을 준다.

[문제 3] 한 참가자가 이 게임에 참여하여 받을 수 있는 선물 개수의 기댓값을 구하시오. [20점, 원고지 작성법을 준수할 필요 없음]

중앙대 2022학년도 수시 경영경제계열 II 3번 · mathesis.kr/archive/cau/2022su/gyeongyeong2_3

● 한 참가자가 게임에 참여했을 때 발생하는 경우와 그 확률은 다음과 같은 방식으로 계산할 수 있다. 단, R는 빨간 공, B는 파란 공을 나타낸다.

+6점 · 첫 번째 시행에서 공을 뽑은 후 발생하는 경우와 발생확률을 올바르게 계산한 경우

● 예를 들어, 첫 번째 시행에서 빨간 공 2개(RR)를 뽑을 확률은 $\displaystyle \frac{{}_{2}\mathrm{C}_{2}\times{}_{2}\mathrm{C}_{0}}{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}=\frac16$ 이고,

+9점 · 두 번째 시행에서 공을 뽑은 후 발생하는 경우와 발생확률을 올바르게 계산한 경우

두 번째 시행에서 빨간 공 1개, 파란 공 1개(RB)를 뽑을 확률은 $\displaystyle \frac{{}_{1}\mathrm{C}_{1}\times{}_{2}\mathrm{C}_{1}}{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}=\frac23$ 이다.

● 같은 방식으로 참가자가 게임에 참여했을 때 발생하는 경우의 수는 다음과 같이 정리할 수 있다.

+5점 · 게임의 종료 후 받을 수 있는 선물의 개수와 그 기댓값을 올바르게 계산한 경우

● 이때 받을 수 있는 선물의 개수와 발생할 확률은 다음과 같다.

$\displaystyle \begin{array}{c|c|c}\text{주머니에 남아있는 공}&\text{선물 개수}&\text{발생할 확률}\\\hline \mathrm{RB}&2&\frac16\times\frac13\times2=\frac19\\\mathrm{RBB}&1&\frac16\times\frac23\times2=\frac29\\\mathrm{RRB}&1&\frac16\times\frac23\times2=\frac29\\\mathrm{RRBB}&4&\frac23\times\frac23=\frac49\end{array}$

● 또는 다음과 같이 정리할 수 있다.

$\displaystyle \begin{array}{c|c|c}\text{주머니에 남아있는 공}&\text{선물 개수}&\text{발생할 확률}\\\hline \text{RBB 또는 RRB}&1&\frac16\times\frac23\times2+\frac16\times\frac23\times2=\frac49\\\mathrm{RB}&2&\frac16\times\frac13\times2=\frac19\\\mathrm{RRBB}&4&\frac23\times\frac23=\frac49\end{array}$

● 참가자가 이 게임에 참여하여 받을 수 있는 선물 개수의 기댓값은 다음과 같다. $\displaystyle \text{기댓값}=1\times\frac49+2\times\frac19+4\times\frac49=\frac{22}9$

※ 계산 실수로 틀렸어도 논리 전개 과정이 맞으면 해당 부분에 1~3점의 부분 점수를 부여함

※ 각 부분에서 바르게 답안을 작성한 경우에도 답안의 완성도에 따라 총점 20점 이내에서 ±1점 추가 점수 부여 가능함

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경영경제계열 II 3번

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