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자연계열 I 1번

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중앙대 2022학년도 수시 자연계열 I 1번 · 해설강의 무료 공개 · mathesis.kr/archive/cau/2022su/jayeon1_1

배점20점
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문제

[문제 1] 다음 상황에 기초하여 문제에 답하시오.

아래와 같이 번호가 부여된 8개의 의자가 있다. 1번부터 7번까지의 서로 다른 등번호를 부여받은 7명의 사람들을 7개의 의자에 앉히려고 한다.

0번부터 7번까지 번호를 붙인 여덟 의자

단, 자리를 배치할 때, 다음의 조건을 모두 만족하여야 한다.

● 한 의자에 2명 이상 앉을 수 없다.

● 모든 사람은 본인의 등번호보다 큰 번호의 의자에 앉을 수 없다.

● 등번호가 5번인 사람은 4번, 5번 의자 중 하나에 앉아야 한다.

● 등번호가 6번인 사람은 4번, 5번, 6번 의자 중 하나에 앉아야 한다.

● 등번호가 7번인 사람은 6번, 7번 의자 중 하나에 앉아야 한다.

자리를 배치하는 경우의 수를 구하시오. [20점]

중앙대 2022학년도 수시 자연계열 I 1번 · 해설강의 무료 공개 · mathesis.kr/archive/cau/2022su/jayeon1_1

+10점 · 등번호 5번, 6번, 7번이 앉을 수 있는 경우 6개를 모두 찾은 경우

먼저, 등번호가 5번, 6번, 7번인 사람의 자리를 고려하면 아래의 6가지 경우가 있다.

등번호567남은 자리자리번호456{0,1,2,3,7}457{0,1,2,3,6}467{0,1,2,3,5}546{0,1,2,3,7}547{0,1,2,3,6}567{0,1,2,3,4}\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c}\text{등번호}&5&6&7&\text{남은 자리}\\\hline \text{자리번호}&4&5&6&\{0,1,2,3,7\}\\&4&5&7&\{0,1,2,3,6\}\\&4&6&7&\{0,1,2,3,5\}\\&5&4&6&\{0,1,2,3,7\}\\&5&4&7&\{0,1,2,3,6\}\\&5&6&7&\{0,1,2,3,4\}\end{array}

+10점 · 6개 경우에 대한 경우의 수를 바르게 계산한 경우 - 남은 자리 {0, 1, 2, 3, 4}인 경우에 해당하는 2×2×2×2=16\displaystyle 2\times2\times2\times2=16개를 못찾은 경우: 2점 감점 - 그 외의 5개 경우: 각 1점 감점

나머지 사람인 등번호 1, 2, 3, 4번의 사람이 앉을 수 있는 경우를 고려해보자. 예를 들어, 남은 자리가 {0, 1, 2, 3, 7}인 경우는 다음과 같이 계산된다.

- 등번호 1번 사람이 선택할 수 있는 경우의 수 - 2가지 (0번 자리, 1번 자리)

- 등번호 2번 사람이 선택할 수 있는 경우의 수 - 2가지 (0번, 1번, 2번 자리 중 등번호 1번이 선택하지 않은 자리)

- 등번호 3번 사람이 선택할 수 있는 경우의 수 - 2가지 (0번, 1번, 2번, 3번 자리 중 등번호 1번, 2번이 선택하지 않은 자리)

- 등번호 4번 사람이 선택할 수 있는 경우의 수 - 1가지 (0번, 1번, 2번, 3번 자리 중 등번호 1번, 2번, 3번이 선택하지 않은 자리)

따라서, 모든 경우의 수는 2×2×2×1=8\displaystyle 2\times2\times2\times1=8이다.

위의 계산과정을 모든 경우에 대하여 반복하면 아래와 같이 계산된다.

등번호567남은 자리1, 2, 3, 4번이 앉을 수 있는 경우의 수자리번호456{0,1,2,3,7}2×2×2×1=8457{0,1,2,3,6}2×2×2×1=8467{0,1,2,3,5}2×2×2×1=8546{0,1,2,3,7}2×2×2×1=8547{0,1,2,3,6}2×2×2×1=8567{0,1,2,3,4}2×2×2×2=16\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c}\text{등번호}&5&6&7&\text{남은 자리}&\text{1, 2, 3, 4번이 앉을 수 있는 경우의 수}\\\hline \text{자리번호}&4&5&6&\{0,1,2,3,7\}&2\times2\times2\times1=8\\&4&5&7&\{0,1,2,3,6\}&2\times2\times2\times1=8\\&4&6&7&\{0,1,2,3,5\}&2\times2\times2\times1=8\\&5&4&6&\{0,1,2,3,7\}&2\times2\times2\times1=8\\&5&4&7&\{0,1,2,3,6\}&2\times2\times2\times1=8\\&5&6&7&\{0,1,2,3,4\}&2\times2\times2\times2=16\end{array}

따라서, 모든 경우의 수는 8×5+16=56\displaystyle 8\times5+16=56이다.

※ 계산 실수로 틀렸어도 논리 전개 과정이 맞으면 해당 부분에 1~2점의 부분 점수를 부여함.

※ 각 부분에서 바르게 답안을 작성한 경우에도 답안의 완성도에 따라 총점 20점 이내에서 ±1점 추가 점수 부여 가능함.

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