인문사회계 Ⅱ 2번

[문제 2-1]이 문제에서 개인의 만족도는 거주하는 지역에서 얻을 수 있는 소득과 그 지역의 미세먼지 농도에 따라 달라진다. 지역B에 비해 A지역에서 얻을 수 있는 소득이 클수록 감내할 수 있는 지역A의 미세먼지 농도도 커질 것이다. 두 지역의 미세먼지 차이가 감내할 수 있는 수준보다 낮다면 소득이 높은 A지역에 거주하겠지만, 감내할 수 있는 수준보다 높다면 소득이 낮더라도 미세먼지 농도가 낮은 B지역에 거주할 것이다. 두 지역에서 얻을 수 있는 만족도가 동일하다면 A지역에 거주한다는 가정 하에 만약 $\displaystyle -a+\log_2x\ge-b+\log_2z$인 경우 A지역에 거주할 것이다. 이 식을 정리하면 $\displaystyle \log_2x-\log_2z\ge a-b$가 되고, 로그의 성질을 이용하여 $\displaystyle \log_2\frac xz\ge a-b$로 간단히 나타낼 수 있다. 반대로 $\displaystyle \log_2\frac xz<a-b$인 경우 B지역에 거주할 것이다. A지역에서 얻을 수 있는 소득이 높을수록 A지역에 거주하는 것이 유리하기 때문에 30%가 A지역에 거주하기 위해서는 소득이 높은 그룹4와 그룹5는 A지역에, 나머지 그룹은 B지역에 거주하여야 한다. 특히 A지역에서 얻을 수 있는 소득이 400인 그룹3이 B지역에 거주하는 것이 유리하다면 A지역에서 얻을 수 있는 소득이 더 낮은 그룹1과 그룹2도 B지역에 거주하는 것이 유리하고, A지역에서 얻을 수 있는 소득이 800인 그룹4가 A지역에 거주하는 것이 유리하다면 A지역에서 더 높은 소득을 얻을 수 있는 그룹5도 A지역에 거주하는 것이 유리하다. 따라서 그룹3이 B지역에 거주할 조건과 그룹4가 A지역에 거주할 조건을 구하면 된다. 그룹3이 B지역에 거주할 조건은 $\displaystyle \log_2\frac{400}{100}<a-b$이며, 그룹4가 A지역에 거주할 조건은 $\displaystyle \log_2\frac{800}{100}\ge a-b$이다. $\displaystyle \log_22^n=n$을 이용하여 위 식들을 다시 쓰면, $\displaystyle 2<a-b$ 그리고 $\displaystyle 3\ge a-b$가 되어 이들을 합치면 $\displaystyle 2<a-b\le3$가 된다.

[문제 2-2]1) 지난 분기에 불황이 나타날 경우를 A라하고, 이번 분기에 불황이 아닐 경우를 B라고 하자. 지난 분기는 총 19번이 될 수 있고, 그 중에서 불황이 나타난 경우의 수는 7번이다. 즉, $\displaystyle P(A)=\frac7{19}$이다. 한편, 지난 분기가 불황인 상태에서 이번 분기가 불황이 아닌 경우는 2019년 1사분기, 2021년 1사분기, 그리고 2022년 4사분기 총 3번이다.Correction. 나열된 연도는 모두 1년씩 앞당겨야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.즉, $\displaystyle P(A\cap B)=\frac3{19}$이다. 따라서, $\displaystyle P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{3/19}{7/19}=\frac37$이므로 약 0.43이다.경제의 상태는 1 또는 0으로 표현되기 때문에 이번 분기에 불황일 경우는 $\displaystyle B^c$로 표현할 수 있다. 따라서 $\displaystyle P(B^c|A)=1-P(B|A)$이므로 약 0.57이다.2) 지난 분기에 불황이 나타나지 않을 경우를 C라하고, 이번 분기에 불황이 아닐 경우를 D라고 하자. 지난 분기는 총 19번이 있고, 그 중에서 불황이 나타나지 않은 경우의 수는 총 12번이다. 즉, $\displaystyle P(C)=\frac{12}{19}$이다. 한편, 지난 분기가 불황이 아닌 상태에서 이번 분기가 불황이 아닌 경우는 2018년 2사분기, 2019년 2사분기에서 2020년 1사분기까지, 그리고 2021년 2사분기부터 2022년 1사분기까지 총 9번이다.Correction. 나열된 연도는 모두 1년씩 앞당겨야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.즉, $\displaystyle P(C\cap D)=\frac9{19}$이다. 따라서, $\displaystyle P(D|C)=\frac{P(C\cap D)}{P(C)}=\frac{9/19}{12/19}=\frac9{12}=0.75$이다.경제의 상태는 1 또는 0으로 표현되기 때문에 이번 분기에 불황일 경우는 $\displaystyle D^c$로 표현할 수 있다. 따라서 $\displaystyle P(D^c|C)=1-P(D|C)$이므로 0.25이다.

[문제 2-3](1) 함수 $\displaystyle h(t)=9t-6$이고 $\displaystyle a=1$이므로, 함수 $\displaystyle f(x)$는 다음과 같은 3차 다항식이다.$\displaystyle f(x)=\int_0^x3at^2-h(t)\,dt=\int_0^x3t^2-9t+6\,dt=\Biggl[t^3-\frac92t^2+6t\Biggr]_0^x=x^3-\frac92x^2+6x$함수 $\displaystyle f(x)$의 미분 $\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2-9x+6=3(x^2-3x+2)=3(x-1)(x-2)$이므로, $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$ 및 밑의 표를 활용하여 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=1$에서 극댓값 및 $\displaystyle x=2$에서 극솟값을 갖는다.$\displaystyle \begin{array}{c|cccccc}x&x=0&0<x<1&x=1&1<x<2&x=2&2<x\\\hline f^{\prime}(x)&+&+&0&-&0&+\\\hline f(x)&0&\text{증가}&2.5&\text{감소}&2.0&\text{증가}\end{array}$$\displaystyle f(1)=1^3-\frac92\times1^2+6\times1=7-\frac92=\frac52=2.5$$\displaystyle f(2)=2^3-\frac92\times2^2+6\times2=8-18+12=2$평균 물가상승률 4.5%에 도달하는 시점을 찾기 위해 밑의 3차 방정식을 푼다. $\displaystyle f(x)=x^3-\frac92x^2+6x=4.5=\frac92$$\displaystyle \Leftrightarrow2x^3-9x^2+12x-9=0$$\displaystyle \Leftrightarrow(x-3)(2x^2-3x+3)=0$$\displaystyle \therefore x=3$

위 그림 함수 $\displaystyle f(x)$의 개형에서 보는 것처럼 1년 후 2.5%, 2년 후 2.0%로서 평균 물가상승률 4.5%에 못 미치지만, 3년 후 물가 상승률이 4.5%로서 평균 물가상승률 4.5%에 도달한다.(2) 조건 $\displaystyle h(t)=-6(m+m^2)t+6m^3$ 및 $\displaystyle a=-2$로부터, 함수 $\displaystyle f(x)$는$\displaystyle f(x)=\int_0^x-6t^2-h(t)\,dt=(-6)\int_0^xt^2-(m+m^2)t+m^3\,dt$로 3차 다항식으로 주어진다.$\displaystyle f(x)=(-6)\Biggl[\frac13t^3-\frac{m+m^2}2t^2+m^3t\Biggr]_0^x=(-6)x\left[\frac13x^2-\frac{m+m^2}2x+m^3\right]$$\displaystyle =-x[2x^2-3(m+m^2)x+6m^3]=-2x^3+3(m+m^2)x^2-6m^3x$함수 $\displaystyle f(x)$의 미분 $\displaystyle f^{\prime}(x)=-6x^2+6(m+m^2)x-6m^3=-6(x-m)(x-m^2)$이고, $\displaystyle m\ge1$이므로 $\displaystyle m^2\ge m$이다. $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$ 및 밑의 표를 활용하여 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=m$에서 극댓값 및 $\displaystyle x=m^2$에서 극솟값을 갖는다.Correction. $\displaystyle m>1$일 때 $\displaystyle x=m$에서 극솟값, $\displaystyle x=m^2$에서 극댓값을 갖는다. 이 문장의 극댓값과 극솟값 명칭이 서로 바뀌어 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.Comment. $\displaystyle m=1$일 때에는 $\displaystyle f^{\prime}(x)=-6(x-1)^2$의 부호가 $\displaystyle x=1$의 좌우에서 바뀌지 않으므로 극값을 갖지 않는다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{array}{c|cccccc}x&x=0&0<x<m&x=m&m<x<m^2&x=m^2&m^2<x\\\hline f^{\prime}(x)&-&-&0&+&0&-\\\hline f(x)&0&\text{감소}&-m^3(3m-1)&\text{증가}&m^5(m-3)&\text{감소}\end{array}$$\displaystyle f(m)=-2m^3+3(m+m^2)m^2-6m^3m=-2m^3+3m^3+3m^4-6m^4=m^3-3m^4=-m^3(3m-1)$$\displaystyle f(m^2)=-2(m^2)^3+3(m+m^2)(m^2)^2-6m^3m^2=m^5(-2m+3+3m-6)=m^5(m-3)$$\displaystyle m\ge1>\frac13$이므로, 극솟값 $\displaystyle f(m)=-m^3(3m-1)<0$이다. 따라서 밑의 그림에서 보는바와 같이 물가상승률이 양수인 시기가 존재하게 하는 조건, 즉 $\displaystyle f(m^2)=m^5(m-3)>0$을 만족하는 $\displaystyle m$의 조건은 $\displaystyle m>3$이다.

(3) 일차함수 $\displaystyle h(t)=bt+c$라 하자. (여기에서 $\displaystyle b,c$는 상수). 조건 $\displaystyle a=1$로부터, 함수 $\displaystyle f(x)$는$\displaystyle f(x)=\int_0^x3t^2-h(t)\,dt=\int_0^x3t^2-bt-c\,dt=\Biggl[t^3-\frac b2t^2-ct\Biggr]_0^x=x^3-\frac b2x^2-cx$로 3차 다항식으로 주어진다.K국과 J국의 물가상승률은 1년 이후 및 2년 이후 동일하므로, $\displaystyle f(1)=g(1),f(2)=g(2)$이다.$\displaystyle f(1)=1^3-\frac b2\times1^2-c=1-\frac b2-c,\ f(2)=2^3-\frac b2\times2^2-2c=8-2b-2c,$$\displaystyle g(1)=\frac32,\ g(2)=3.$조건 $\displaystyle f(1)=1-\frac b2-c=\frac32=g(1),\ f(2)=8-2b-2c=3=g(2)$로부터$\displaystyle \begin{cases}b+2c=-1\\-2b-2c=-5\end{cases}$이다. 따라서 $\displaystyle b=6,\ c=-\frac72$이고 $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+\frac72x$이다. 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle f(0)=0$이고, 미분 $\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2-6x+\frac72=3(x^2-2x+1-1)+\frac72=3(x-1)^2+\frac12>0$을 만족하므로 함수 $\displaystyle f(x)$는 극솟값 극댓값을 갖지 않고 증가한다. 함수 $\displaystyle f(x)$의 개형은 아래 그림과 같다.

A국의 물가상승률이 K국의 물가 상승률보다 항상 낮게 유지하려면 모든 양의 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle \left(3-\frac n4\right)x=g_A(x)\le f(x)=x^3-3x^2+\frac72x$을 만족하여야 한다. 함수$\displaystyle H(x)=f(x)-g_A(x)=x^3-3x^2+\frac72x-\left(3-\frac n4\right)x$로 정의하면, 모든 양의 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle H(x)\ge0$을 만족하여야 한다. $\displaystyle H(x)=x\left[x^2-3x+\frac12+\frac n4\right]=x\left[\left(x-\frac32\right)^2-\frac74+\frac n4\right]$이며 $\displaystyle n<7$인 경우 $\displaystyle x$절편 $\displaystyle x=0$을 갖고, $\displaystyle n\le7$인 경우 $\displaystyle x$절편 $\displaystyle x=0,\frac32\pm\frac{\sqrt{7-n}}2$을 갖는다.Correction. 첫 번째 경우의 $\displaystyle n<7$은 $\displaystyle n>7$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.밑의 그림에서 보는 것처럼 $\displaystyle n\ge7$일 때 모든 양의 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle H(x)\ge0$을 만족하고, $\displaystyle n=7$일 때 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle g_A(x)$를 접선으로 가진다.

따라서 A국의 물가상승률이 K국의 물가 상승률보다 항상 낮거나 같게 유지하려면 최소 7개의 정책을 이용하여야 한다.