자연계열 A 3번

[문제 3번] 답: $\displaystyle \sin\angle APB=\frac{\sqrt2}{\sqrt3}$Correction. $\displaystyle \angle APB$는 $\displaystyle \angle AXB$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[풀이] 삼각형 ABX의 외접원의 중심의 좌표를 H(3,b)라 하자. X의 좌표를 $\displaystyle \mathrm X\left(a,\frac{\sqrt2}4a^2\right)$라 하자.HA와 HX의 길이가 같아야 하므로$\displaystyle 1+b^2=(3-a)^2+\left(b-\frac{\sqrt2}4a^2\right)=9-6a+a^2+b^2-\frac{\sqrt2}2a^2b+\frac{a^4}8$.Correction. 두 거리의 제곱을 비교한 식에서 두 번째 괄호의 지수 $\displaystyle 2$가 빠졌다. 오른쪽의 $\displaystyle b^2-\frac{\sqrt2}{2}a^2b+\frac{a^4}{8}$은 $\displaystyle \left(b-\frac{\sqrt2}{4}a^2\right)^2$을 전개한 식이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이 식을 정리하면(1) $\displaystyle \frac{\sqrt2}2a^2b=8-6a+a^2+\frac{a^4}8$.직선 HX가 접선과 수직이어야 하므로(2) $\displaystyle \frac{\sqrt2}2a\cdot\frac{\frac{\sqrt2}4a^2-b}{a-3}=-1$.따라서 식 (2)를 정리하면(3) $\displaystyle \frac{\sqrt2}2a^2b=\frac{a^4}4+a^2-3a$따라서 (1)과 (3)으로부터$\displaystyle \frac{\sqrt2}2a^2b=8-6a+a^2+\frac{a^4}8=\frac{a^4}4+a^2-3a$이므로(4) $\displaystyle \frac{a^4}8+3a-8=0$를 얻는다. 이 방정식을 풀면 $\displaystyle (a-2)\left(\frac{a^3}8+\frac{a^2}4+\frac a2+4\right)=0$에서 $\displaystyle a=2$이다.Caution. 방정식을 풀 때는 주어진 범위에서 모든 해를 찾아야 한다: 외접원의 반지름은 $\displaystyle a=2$에서 가장 작으므로 구하는 최댓값은 맞지만, 음수인 $\displaystyle a$까지 고려하면 이 방정식에는 다른 실근도 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.그러므로 $\displaystyle \sin(\angle AXB)$의 값이 최대가 되는 점 X의 좌표는 $\displaystyle (2,\sqrt2)$이다.따라서 $\displaystyle \overline{AB}=2,\ \overline{AX}=\sqrt2,\ \overline{BX}=\sqrt6$이므로 $\displaystyle \angle BAX=90^\circ$이다.이로부터 $\displaystyle \sin\angle AXB=\frac{\sqrt2}{\sqrt3}$이다.