자연계열 A 4번

[문제 4번] 답: $\displaystyle \theta^{\prime}(0)=1,\ \theta^{\prime}\left(\frac\pi2\right)=\frac43$

[풀이]

점 S로부터 $\displaystyle x$축에 수직으로 보조선을 그리면 그림과 같은 도형을 얻는다. 이로부터(*) $\displaystyle \tan\theta=\frac{R\sin t-r}{R\cos t}$을 얻는다. 이 식을 $\displaystyle t$에 관해 미분하면$\displaystyle (\ast\ast)$ $\displaystyle \frac{\theta^{\prime}(t)}{\cos^2\theta}=\frac{R-r\sin t}{R\cos^2t}$(1) $\displaystyle \theta=0$일 때 $\displaystyle \tan\theta=0$이므로 (*)로부터 $\displaystyle \sin t=\frac rR=\frac14,\ \cos t=\frac{\sqrt{15}}4$이다.그러므로 $\displaystyle \theta^{\prime}(0)=1$이다. (주의: $\displaystyle \theta=0$일 때 $\displaystyle t\ne0$이다.)Correction. $\displaystyle \theta$를 $\displaystyle t$의 함수로 보았으므로, $\displaystyle \theta=0$일 때의 미분계수를 $\displaystyle \theta'(0)$으로 적은 것은 오기이다. $\displaystyle \theta(t_0)=0$인 $\displaystyle t_0$에 대하여 대학이 구한 값은 $\displaystyle \theta'(t_0)=1$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.(2) $\displaystyle \theta=\frac\pi2$일 때에는 $\displaystyle t=\frac\pi2$인데, 이를 $\displaystyle (\ast\ast)$에 바로 대입하여 답을 얻을 수 없다.(방법1) (*)에서 $\displaystyle \cos\theta=\frac{R\cos t\sin\theta}{R\sin t-r}$를 $\displaystyle (\ast\ast)$에 대입하면$\displaystyle \theta^{\prime}(t)=\frac{R-r\sin t}{R\cos^2t}\cdot\cos^2\theta=\frac{(R-r\sin t)\cdot R\sin^2\theta}{(R\sin t-r)^2}$따라서 $\displaystyle \theta=\frac\pi2,\ t=\frac\pi2$를 대입하면 $\displaystyle \theta^{\prime}\left(\frac\pi2\right)=\frac{3r\cdot4r}{(3r)^2}=\frac43$