자연계열 B 5번

[문제 5번] 답: $\displaystyle x=2$일 때 최솟값을 가진다.

[풀이]

$\displaystyle \angle OBP=\theta$라고 하면 $\displaystyle \tan\theta=\frac x2$. (1)$\displaystyle \angle BPA=\alpha,\ \angle BPC=\beta,\ \overline{AB}=\mathrm h$라고 하면$\displaystyle \tan(\alpha+\theta)=\frac{x+h}2,\ \tan(\beta-\theta)=\frac{1-x}2$이다. (2)그러면 $\displaystyle \tan\alpha=\tan(\alpha+\theta-\theta)=\frac{2h}{x^2+hx+4}$ (3)$\displaystyle \tan\beta=\tan(\beta-\theta+\theta)=\frac2{x^2-x+4}$$\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\frac h{1+h},\quad\frac{\overline{A^{\prime}B^{\prime}}}{\overline{A^{\prime}C^{\prime}}}=\frac{\tan\alpha}{\tan\alpha+\tan\beta}=\frac h{h+1}\cdot\frac{x^2-x+4}{x^2+4}$ (4)그러면 $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-x+4}{x^2+4}$. (5)미분하여 최솟값을 구하면 $\displaystyle x=2$일 때 최솟값을 가짐을 알 수 있다.