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자연계열 B 5번

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건국대 2023학년도 수시 자연계열 B 5번 · mathesis.kr/archive/konkuk/2023su/jayeonb_5

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문제

제시문 5

(가) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 x=a\displaystyle x=a에서 미분가능하고 x=a\displaystyle x=a에서 극값을 가지면 f′(a)=0\displaystyle f^{\prime}(a)=0이다.

(나) 그림에서 직선 l1\displaystyle l_1과 l2\displaystyle l_2는 평행하다. A,B,C는 l1\displaystyle l_1 위의 세 점이고, 점 O는 점 B에서 직선 l2\displaystyle l_2에 내린 수선의 발이다. 직선 l2\displaystyle l_2 위의 점 P는 점 O의 아래쪽에 있다. 직선 BP와 수직인 직선 l3\displaystyle l_3가 선분 AP, BP, CP와 각각 A′,B′,C′\displaystyle A^{\prime},B^{\prime},C^{\prime}에서 만난다. BC‾=1\displaystyle \overline{BC}=1이고 BO‾=2\displaystyle \overline{BO}=2이다.

평행선 l1, l2와 수선 l3

[문제 5] (나)에서 OP‾=x\displaystyle \overline{OP}=x일 때 A′B′‾A′C′‾\displaystyle \frac{\overline{A^{\prime}B^{\prime}}}{\overline{A^{\prime}C^{\prime}}}와 AB‾AC‾\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}의 비 A′B′‾A′C′‾AB‾AC‾\displaystyle \frac{\frac{\overline{A^{\prime}B^{\prime}}}{\overline{A^{\prime}C^{\prime}}}}{\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}}는 x\displaystyle x에 대한 식으로 표현된다. 이 식을 f(x)\displaystyle f(x)라 할 때 f(x)\displaystyle f(x)가 최소가 되는 x\displaystyle x의 값을 구하고 풀이 과정을 쓰시오. [30점]

해설강의 준비중

건국대 2023학년도 수시 자연계열 B 5번 · mathesis.kr/archive/konkuk/2023su/jayeonb_5

[문제 5번] 답: x=2\displaystyle x=2일 때 최솟값을 가진다.

[풀이]

각 α, β, θ와 선분의 길이 h

∠OBP=θ\displaystyle \angle OBP=\theta라고 하면 tan⁡θ=x2\displaystyle \tan\theta=\frac x2. (1)∠BPA=α, ∠BPC=β, AB‾=h\displaystyle \angle BPA=\alpha,\ \angle BPC=\beta,\ \overline{AB}=\mathrm h라고 하면tan⁡(α+θ)=x+h2, tan⁡(β−θ)=1−x2\displaystyle \tan(\alpha+\theta)=\frac{x+h}2,\ \tan(\beta-\theta)=\frac{1-x}2이다. (2)그러면 tan⁡α=tan⁡(α+θ−θ)=2hx2+hx+4\displaystyle \tan\alpha=\tan(\alpha+\theta-\theta)=\frac{2h}{x^2+hx+4} (3)tan⁡β=tan⁡(β−θ+θ)=2x2−x+4\displaystyle \tan\beta=\tan(\beta-\theta+\theta)=\frac2{x^2-x+4}AB‾AC‾=h1+h,A′B′‾A′C′‾=tan⁡αtan⁡α+tan⁡β=hh+1⋅x2−x+4x2+4\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\frac h{1+h},\quad\frac{\overline{A^{\prime}B^{\prime}}}{\overline{A^{\prime}C^{\prime}}}=\frac{\tan\alpha}{\tan\alpha+\tan\beta}=\frac h{h+1}\cdot\frac{x^2-x+4}{x^2+4} (4)그러면 f(x)=x2−x+4x2+4\displaystyle f(x)=\frac{x^2-x+4}{x^2+4}. (5)미분하여 최솟값을 구하면 x=2\displaystyle x=2일 때 최솟값을 가짐을 알 수 있다.

하위 문항채점 기준배점
5A+: 정답과 풀이가 맞음. A: 풀이가 모두 맞았으나 사소한 계산 실수가 있음. B+: A′B′‾A′C′‾\displaystyle \frac{\overline{A^{\prime}B^{\prime}}}{\overline{A^{\prime}C^{\prime}}}의 식을 계산함. B: ∠APC\displaystyle \angle APC와 ∠BPC\displaystyle \angle BPC의 삼각비를 모두 구함. C: ∠APC\displaystyle \angle APC와 ∠BPC\displaystyle \angle BPC의 삼각비 중 하나를 구함. D: ∠PBO\displaystyle \angle PBO의 삼각비를 구함. E: 풀이와 관계있는 의미있는 시도를 함. F: 답안이 공란이거나 문제와 관련 없는 내용을 적음.30

Comment. 채점기준에는 ∠APC\displaystyle \angle APC와 ∠BPC\displaystyle \angle BPC의 삼각비가 제시되어 있다. 예시답안에서는 ∠APB\displaystyle \angle APB와 ∠BPC\displaystyle \angle BPC의 삼각비를 구한다.

※ 하위 문항이 있는 경우 칸을 나누어 채점 기준을 작성함.

※ 채점 기준은 문항의 출제의도에 대한 평가를 위한 것이어야 함.

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