자연계열 A 1번

[문제 1번] 답: 거리의 최댓값은 $\displaystyle 8\sqrt2$

[풀이] 두 개의 원　$\displaystyle x^2+6x+y^2-8y=0\ \cdots\ (1),$$\displaystyle x^2-2x+y^2=0\ \cdots\ (2)$의 교점은 $\displaystyle (0,0),(1,1)$인데 둘 중 어느 점을 지나는 직선을 이용해 계산해도 결과는 같다.점 $\displaystyle (0,0)$을 지나는 직선 $\displaystyle y=tx$가 원 (1)과 만나는 점의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{8t-6}{1+t^2},\frac{8t^2-6t}{1+t^2}\right)$이고 원 (2)와 만나는 점의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac2{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}\right)$이다.이 두 점 사이의 거리의 제곱은 $\displaystyle f(t)=\frac{64(t-1)^2}{(1+t^2)}$이고 $\displaystyle f^{\prime}(t)=\frac{2(t-1)(t+1)}{(1+t^2)^2}=0$이므로 $\displaystyle t=-1$에서 최댓값을 가짐을 알 수 있다.Correction. $\displaystyle f^{\prime}(t)$의 분자에서 계수 $\displaystyle 64$가 빠졌다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.최댓값은 $\displaystyle f(-1)=2\cdot64$이다. 그러므로 거리의 최댓값은 $\displaystyle \sqrt{2\cdot64}=8\sqrt2$.