자연계열 B 4번

[문제 4번] 답: $\displaystyle \frac2{21}\sqrt7$

[풀이] 삼각형 $\displaystyle ABC$에 코사인정리를 적용하면$\displaystyle \cos\angle A=\frac{\overline{AB}^2+\overline{AC}^2-\overline{BC}^2}{2\overline{AB}\cdot\overline{AC}}=\frac{4^2+5^2-6^2}{2\cdot4\cdot5}=\frac18$이다. 이로부터 $\displaystyle \sin\angle A=\frac{3\sqrt7}8$.사인정리를 적용하면 $\displaystyle 2R\sin\angle A=6$, 따라서 $\displaystyle R=\frac8{\sqrt7}$.선분 $\displaystyle BC,BD,DC$의 중점을 각각 $\displaystyle M,M_1,M_2$라 하자.삼각형 $\displaystyle ABC,EBD,FDC$가 닮은 삼각형으로 닮음비가 $\displaystyle 3:1:2$이다.$\displaystyle \angle COM=\angle A,\ \overline{CO}=R$이므로 $\displaystyle \overline{OM}=\overline{OC}\cos\angle A=\frac8{\sqrt7}\cdot\frac18=\frac1{\sqrt7}$.닮음비를 이용하면 $\displaystyle \overline{OM_1}=\frac1{3\sqrt7},\ \overline{OM_2}=\frac2{3\sqrt7}$임을 알 수 있다.Correction. $\displaystyle \overline{OM_1}$, $\displaystyle \overline{OM_2}$는 각각 $\displaystyle \overline{O_1M_1}$, $\displaystyle \overline{O_2M_2}$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.사각형 $\displaystyle OO_1M_1M,\ OMM_2O_2,\ O_1M_1M_2O_2$의 넓이는 각각$\displaystyle \frac12(\overline{OM}+\overline{O_1M_1})\cdot\overline{MM_1}=\frac12\left(\frac1{\sqrt7}+\frac1{3\sqrt7}\right)\cdot1=\frac2{3\sqrt7}$,$\displaystyle \frac12(\overline{OM}+\overline{O_2M_2})\cdot\overline{MM_2}=\frac12\left(\frac1{\sqrt7}+\frac2{3\sqrt7}\right)\cdot2=\frac5{3\sqrt7}$,Correction. $\displaystyle \overline{MM_1}=2$, $\displaystyle \overline{MM_2}=1$이므로 처음 두 사다리꼴의 넓이는 각각 $\displaystyle \frac4{3\sqrt7}$, $\displaystyle \frac5{6\sqrt7}$이다. 이를 이용하면 마지막에 제시된 넓이 $\displaystyle \frac{2\sqrt7}{21}$을 얻는다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \frac12(\overline{O_1M_1}+\overline{O_2M_2})\cdot\overline{M_1M_2}=\frac12\left(\frac1{3\sqrt7}+\frac2{3\sqrt7}\right)\cdot3=\frac3{2\sqrt7}$그런데 삼각형 $\displaystyle OO_1O_2$의 넓이는 사각형 $\displaystyle OO_1M_1M$와 $\displaystyle OMM_2O_2$의 넓이의 합에서 사각형 $\displaystyle O_1M_1M_2O_2$의 넓이를 뺀 것과 같다. 따라서 삼각형 $\displaystyle OO_1O_2$의 넓이는 $\displaystyle \frac2{21}\sqrt7$이다.