자연계열 B 2번

[문제 2번] 답: 585가지

[풀이] 다음 조건을 만족하는 방정식의 정수해의 개수를 구한다.$\displaystyle x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=40$(조건) $\displaystyle x_1,x_2$는 홀수, $\displaystyle x_3,x_4$는 짝수, 그리고 $\displaystyle x_5$는 5의 배수정수 $\displaystyle k_1,k_2,k_3,k_4$와 정수 $\displaystyle t$에 대하여$\displaystyle x_1=2k_1+1,x_2=2k_2+1,x_3=2k_3+2,x_4=2k_4+2,x_5=5t+5$로 나타낼 수 있으므로, 위의 방정식에서$\displaystyle 40=x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=2(k_1+k_2+k_3+k_4)+11+5t,\ (k_i\ge0,\ t\ge0)$이다. 따라서 다음 방정식의 정수해의 개수를 구하면 된다.$\displaystyle 2(k_1+k_2+k_3+k_4)=29-5t,\ (k_i\ge0,\ t\ge0)$이며, $\displaystyle t=1,3,5$일 때만 정수해가 존재한다.(1) $\displaystyle t=1$일 때,$\displaystyle k_1+k_2+k_3+k_4=\frac12(29-5t)=12,\ (k_i\ge0)$이므로 해의 개수는 $\displaystyle {}_{4}\mathrm H_{12}={}_{4+12-1}\mathrm C_{12}={}_{15}\mathrm C_{12}={}_{15}\mathrm C_3$(2) $\displaystyle t=3$일 때,$\displaystyle k_1+k_2+k_3+k_4=\frac12(29-5t)=7,\ (k_i\ge0)$이므로 해의 개수는 $\displaystyle {}_{4}\mathrm H_7={}_{4+7-1}\mathrm C_7={}_{10}\mathrm C_7={}_{10}\mathrm C_3$(3) $\displaystyle t=5$일 때,$\displaystyle k_1+k_2+k_3+k_4=\frac12(29-5t)=2,\ (k_i\ge0)$이므로 해의 개수는 $\displaystyle {}_{4}\mathrm H_2={}_{4+2-1}\mathrm C_2={}_{5}\mathrm C_2={}_{5}\mathrm C_3$따라서 (1), (2), (3)에 의하여 구슬을 상자에 넣는 방법의 수는$\displaystyle {}_{15}\mathrm C_3+{}_{10}\mathrm C_3+{}_{5}\mathrm C_3=455+120+10=585$.