자연계열 A 5번

[문제 5번] 답: 161개

[풀이] 먼저, $\displaystyle g(n)$은 $\displaystyle n$의 자리수의 합인 것을 관찰할 수 있다. 예를 들어$\displaystyle g(5432)=f(54320)-10f(5432)$$\displaystyle =5432+543+54+5-10(543+54+5)$$\displaystyle =(5432-5430)+(543-540)+(54-50)+5$$\displaystyle =2+3+4+5=14$일반적으로 $\displaystyle n=a_1a_2\cdots a_m=a_1\cdot10^{m-1}+a_2\cdot10^{m-2}+\cdots+a_{m-1}\cdot10+a_m$, 즉 $\displaystyle n$의 각 자리수가 $\displaystyle a_1,\cdots,a_m$일 때$\displaystyle g(n)=f(10n)-10f(n)$$\displaystyle =\{(a_110^{m-1}+\cdots+a_m)+(a_110^{m-2}+\cdots+a_{m-1})+\cdots+(a_1\cdot10+a_2)+a_1\}$$\displaystyle -10\{(a_110^{m-2}+\cdots+a_{m-1})+(a_110^{m-3}+\cdots+a_{m-2})+\cdots+a_1\}$$\displaystyle =\{(a_110^{m-1}+\cdots+a_m)-(a_110^{m-1}+\cdots+a_{m-1}\cdot10)\}$$\displaystyle +\{(a_110^{m-2}+\cdots+a_{m-1})-(a_110^{m-2}+\cdots+a_{m-2}\cdot10)\}$$\displaystyle +\cdots+\{(a_1\cdot10+a_2)-(a_1\cdot10)\}+a_1$$\displaystyle =a_m+a_{m-1}+\cdots+a_2+a_1$따라서 $\displaystyle g(n)=a_1+\cdots+a_m$이 성립한다. 즉 $\displaystyle g(n)$은 $\displaystyle n$의 각 자리수의 합이다.4자리 이하의 음이 아닌 정수 $\displaystyle n=a_1a_2a_3a_4$ (즉 $\displaystyle 0\le n\le9999$인 정수 $\displaystyle n$) 중에서 $\displaystyle g(n)=8$을 만족하는 것의 개수는 다음을 만족하는 정수들의 개수와 같다.$\displaystyle x_1+x_2+x_3+x_4=8,\quad x_1,x_2,x_3,x_4\ge0$중복조합을 이용하여 구하면 총 개수는 $\displaystyle {}_{4}\mathrm H_8={}_{11}\mathrm C_8={}_{11}\mathrm C_3=\frac{11\cdot10\cdot9}{3\cdot2\cdot1}=165$이다.이 중에서 첫 번째 자리수가 8인 것은 8000으로 1개가 있는데, 이것은 6200보다 크다.첫 번째 자리수가 7인 것은 7100, 7010, 7001 이렇게 3개가 있는데, 이들은 모두 6200보다 크다.첫 번째 자리수가 6인 것은 모두 6200, 6020, 6002, 6110 등 모두 6200 이하이다.첫 번째 자리수가 5 이하인 것은 모두 6200 이하이다.따라서 구하는 개수는 $\displaystyle 165-(1+3)=161$개다.