자연계열 B 1번

[문제 1번] 답: $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{d_n}n=\frac83$

[풀이] 좌표평면에서 원은 $\displaystyle x^2+y^2=1,\ l_1:y=2,\ l_2:y=-2,\ A_n(n,2)$로 두자.$\displaystyle A_n$을 지나는 직선 $\displaystyle l:y=k(x-n)+2$과 원이 접할 조건 $\displaystyle \frac{|nk-2|}{\sqrt{k^2+1}}=1$로부터이차방정식 $\displaystyle (n^2-1)k^2-4nk+3=0$을 얻는다. 이 방정식의 두 근을 $\displaystyle k_1,k_2$라 하면$\displaystyle k_1+k_2=\frac{4n}{n^2-1},\ k_1k_2=\frac3{n^2-1}$이다. 그러므로Caution. 직선의 기울기를 이용할 때는 $\displaystyle y$축에 평행한 경우를 따로 다루어야 한다: $\displaystyle n=1$이면 접선 하나가 수직선 $\displaystyle x=1$이므로 두 접선의 기울기를 이차방정식의 두 근으로 다룰 수 없다. 다른 접선의 기울기는 $\displaystyle \frac34$이고, 두 접선과 $\displaystyle y=-2$의 교점을 구하면 $\displaystyle d_1=\frac{16}3$이다. 이 값을 따로 확인하면 거리 식과 극한값은 그대로이다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle (k_1-k_2)^2=(k_1+k_2)^2-4k_1k_2=\frac{4n^2+12}{(n^2-1)^2}$이다.직선 $\displaystyle l:y=k(x-n)+2$이 $\displaystyle l_2:y=-2$와 만나는 점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle x=n-\frac4k$따라서 $\displaystyle d_n=\left|\left(n-\frac4{k_1}\right)-\left(n-\frac4{k_2}\right)\right|=4\left|\frac{k_1-k_2}{k_1k_2}\right|=\frac43\sqrt{4n^2+12}$그러므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{d_n}n=\frac83$