자연계열 A 2번

[문제 2번] 답: $\displaystyle \frac83$

[풀이] 두 원의 중심을 A, B라 하고 두 원의 교점을 C, D라 하자. 각 CAB의 크기를 $\displaystyle \theta$라 하자.부채꼴 CAD의 넓이는 $\displaystyle \frac12\cdot1^2\cdot(2\theta)=\theta$, 삼각형 CAD의 넓이는 $\displaystyle \frac12\cdot1^2\cdot\sin(2\theta)=\frac{\sin2\theta}2$이다.공통부분의 넓이는 부채꼴 CAD의 넓이에서 삼각형 CAD의 넓이를 뺀 것의 2배이므로$\displaystyle A(x)=2\left(\theta-\frac{\sin2\theta}2\right)=2\theta-\sin2\theta$.$\displaystyle x=2\cos\theta$이므로 $\displaystyle dx=-2\sin\theta\,d\theta$이다. $\displaystyle x=0$일 때 $\displaystyle \theta=\frac\pi2$이고 $\displaystyle x=2$일 때 $\displaystyle \theta=0$이므로$\displaystyle \int_0^2A(x)dx=\int_0^2 2\theta-\sin2\theta\,dx=\int_{\frac\pi2}^0(2\theta-\sin2\theta)(-2\sin\theta)d\theta$$\displaystyle =\int_0^{\frac\pi2}(2\theta-2\sin\theta\cos\theta)(2\sin\theta)d\theta$$\displaystyle =\int_0^{\frac\pi2}4\theta\sin\theta-4\sin^2\theta\cos\theta\,d\theta$$\displaystyle =\Biggl[-4\theta\cos\theta+4\sin\theta-\frac43\sin^3\theta\Biggr]_0^{\frac\pi2}=0+4-\frac43=\frac83$위 계산에서는 다음 부분적분 및 치환적분이 사용되었다.$\displaystyle \int\theta\sin\theta\,d\theta=-\theta\cos\theta+\int\cos\theta\,d\theta=-\theta\cos\theta+\sin\theta+C$$\displaystyle \int\sin^2\theta\cos\theta\,d\theta=\frac13\sin^3\theta+C$