심화 접선의 절편의 변화

곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 접점이 움직일 때 접선의 $\displaystyle x$절편과 $\displaystyle y$절편이 어떻게 변하는지 살펴보자. 여기서는 $\displaystyle f$가 두 번 미분가능하다고 하자.

1. 접선의 $\displaystyle y$절편

접점이 $\displaystyle (t,f(t))$일 때 접선의 방정식은$\displaystyle y=f^{\prime}(t)(x-t)+f(t)$이므로, $\displaystyle y$절편을 $\displaystyle g(t)$라 하면$\displaystyle g(t)=f(t)-tf^{\prime}(t)$이다. 따라서$\displaystyle g^{\prime}(t)=f^{\prime}(t)-\{f^{\prime}(t)+tf^{\prime\prime}(t)\}=-tf^{\prime\prime}(t)$이다.

즉, 접선의 $\displaystyle y$절편의 증감은 접점의 $\displaystyle x$좌표 $\displaystyle t$와 이계도함수 $\displaystyle f^{\prime\prime}(t)$의 부호로 결정된다. 도함수가 0이 되는 후보는$\displaystyle t=0\quad\text{또는}\quad f^{\prime\prime}(t)=0$이다. $\displaystyle t=0$은 접점이 $\displaystyle y$축 위에 놓이는 경우이다. $\displaystyle f^{\prime\prime}(t)=0$인 점에서는 곡선의 오목·볼록이 바뀌는지도 살펴볼 수 있다.

다만 $\displaystyle f^{\prime\prime}(t)=0$이라는 사실만으로 변곡점이라고 할 수는 없으며, $\displaystyle g^{\prime}(t)=0$이라는 사실만으로 $\displaystyle g$가 극값을 갖는 것도 아니다. 실제 극대·극소는 $\displaystyle g^{\prime}$의 부호 변화로 판정한다.

2. 접선의 $\displaystyle x$절편

$\displaystyle f^{\prime}(t)\ne0$일 때 접선의 $\displaystyle x$절편을 $\displaystyle h(t)$라 하면$\displaystyle h(t)=t-\frac{f(t)}{f^{\prime}(t)}$이다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned}h^{\prime}(t)&=1-\frac{\{f^{\prime}(t)\}^2-f(t)f^{\prime\prime}(t)}{\{f^{\prime}(t)\}^2}\\&=\frac{f(t)f^{\prime\prime}(t)}{\{f^{\prime}(t)\}^2}\end{aligned}$이다.

분모가 양수이므로 $\displaystyle x$절편의 증감은 $\displaystyle f(t)$와 $\displaystyle f^{\prime\prime}(t)$의 부호로 결정된다. 도함수가 0이 되는 후보는$\displaystyle f(t)=0\quad\text{또는}\quad f^{\prime\prime}(t)=0$이다. $\displaystyle f(t)=0$은 접점이 $\displaystyle x$축 위에 놓이는 경우이다. 이때도 실제 극대·극소는 $\displaystyle h^{\prime}$의 부호 변화로 판정한다.

$\displaystyle f^{\prime}(t)=0$인 접선은 수평선이므로 위의 $\displaystyle x$절편 식을 적용할 수 없다.