창의형 3번

미적분학의 기본정리를 이용하여 $\displaystyle g^{\prime}(x)=1+ae^{-x^{2}}$를 구하면 $\displaystyle g^{\prime}(x)$가 모든 $\displaystyle x$에 대하여 양수임을 알 수 있다.

따라서 $\displaystyle g(x)$가 증가하는 구간은 $\displaystyle (-\infty,\infty)$이다.

$\displaystyle g(x)$가 증가함수이므로 역함수가 실수 전체 구간에서 존재하고 따라서 다음과 같이 $\displaystyle u=g^{-1}(x)$로 치환적분을 할 수 있다.

$\displaystyle \int_{0}^{g(1)}g^{-1}(x)dx=\int_{0}^{1}ug^{\prime}(u)\,du=\int_{0}^{1}u\left(1+ae^{-u^{2}}\right)du=\int_{0}^{1}u\,du+a\int_{0}^{1}ue^{-u^{2}}du$두 번째 적분에 대하여 $\displaystyle t=u^{2}$으로 치환하여$\displaystyle \int_{0}^{1}ue^{-u^{2}}du=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}e^{-t}dt=\frac{1}{2}\left(1-e^{-1}\right)$을 얻는다.

따라서 문제에 주어진 조건에 의해$\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{a}{2}\left(1-e^{-1}\right)=1$이 성립한다.

따라서 $\displaystyle a=\frac{1}{1-e^{-1}}=\frac{e}{e-1}$이다.