창의형 8번

원의 중심을 $\displaystyle \mathrm{O}$라 하면,$\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}&=\left(\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right)\\&=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\left(\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right)\cdot\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OA}}\\&=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\left(\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right)\cdot\overrightarrow{\mathrm{OA}}+1\end{aligned}$

두 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}}$, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}$ 사이의 각을 $\displaystyle \theta(0\le\theta\le\pi)$라 하면,$\displaystyle \begin{aligned}\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|^{2}&=\left(\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right)\\&=\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|^{2}+\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|^{2}+2\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}\\&=\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|^{2}+\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|^{2}+2\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|\cos\theta\\&=1+1+2\cos\theta=2+2\cos\theta=4\cos^{2}\frac{\theta}{2}\end{aligned}$

따라서 $\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=2\cos\frac{\theta}{2}$이다. 두 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}$와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}$ 사이의 각을 $\displaystyle \phi(0\le\phi\le\pi)$라 하면,Caution. $\displaystyle B$와 $\displaystyle C$가 지름의 양 끝점이면 $\displaystyle \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\mathbf0$이므로 각 $\displaystyle \phi$를 정의할 수 없다. 이 경우 내적은 $\displaystyle 0$이어서 최솟값을 갖는 경우에서 제외된다.$\displaystyle \left(\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right)\cdot\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|\cos\phi=2\cos\frac{\theta}{2}\cos\phi$이고 $\displaystyle \cos\frac{\theta}{2}\ge 0$이므로 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\left(\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right)\cdot\overrightarrow{\mathrm{OA}}+1=\cos\theta-2\cos\frac{\theta}{2}\cos\phi+1$이 최솟값을 가지려면 $\displaystyle \cos\phi=1(\phi=0)$이어야 한다.

$\displaystyle \phi=0$이면, 내적 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}$은$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\cos\theta-2\cos\frac{\theta}{2}+1=2\left(\cos^{2}\frac{\theta}{2}-\cos\frac{\theta}{2}\right)$이고 $\displaystyle \cos\frac{\theta}{2}=\frac{1}{2}\left(\theta=\frac{2\pi}{3}\right)$일 때, 최솟값 $\displaystyle -\frac{1}{2}$을 갖는다.

이때, 오른쪽 그림과 같이 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AC}}=1$, $\displaystyle \angle\mathrm{BAC}=\frac{2\pi}{3}$이고$\displaystyle \triangle\mathrm{ABC}=\frac{1}{2}\times\overline{\mathrm{AB}}\times\overline{\mathrm{AC}}\times\sin(\angle\mathrm{BAC})=\frac{\sqrt{3}}{4}$