창의형 4번

$\displaystyle \mathrm{P}_{n}(a_{n}^{2},a_{n})$에 대하여 $\displaystyle b_{n}=a_{n}^{2}+a_{n}$이고 $\displaystyle \mathrm{P}_{n+1}((a_{n}+1)^{2},a_{n}+1)$이다. $\displaystyle a_{1}=1$이므로 $\displaystyle \mathrm{P}_{n}(n^{2},n)$, $\displaystyle \mathrm{Q}_{n}(n^{2}+n,0)$이다.

직선의 기울기가 $\displaystyle 1$, $\displaystyle -1$이므로 $\displaystyle \angle\mathrm{P}_{n}\mathrm{Q}_{n}\mathrm{P}_{n+1}=\frac{\pi}{2}$이다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{P}_{n}\mathrm{Q}_{n}\mathrm{P}_{n+1}$의 넓이는$\displaystyle S_{n}=\frac{1}{2}\overline{\mathrm{P}_{n}\mathrm{Q}_{n}}\cdot\overline{\mathrm{Q}_{n}\mathrm{P}_{n+1}}=\frac{1}{2}\sqrt{2n^{2}}\sqrt{2(n+1)^{2}}=n^{2}+n$이다.

급수의 값은 $\displaystyle \sum_{n=1}^{10}(n^{2}+n)=440$이다.