창의형 4번

[문제 4] (15점) 좌표평면에서 곡선 $\displaystyle y=\sqrt{x}$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{n}(a_{n}^{2},a_{n})$과 $\displaystyle x$축 위의 점 $\displaystyle \mathrm{Q}_{n}(b_{n},0)$을 다음과 같이 정의한다.

(i) 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}$의 좌표는 $\displaystyle (1,1)$이다. (즉, $\displaystyle a_{1}=1$이다.)(ii) $\displaystyle \mathrm{P}_{n}(a_{n}^{2},a_{n})$을 지나고 기울기 $\displaystyle -1$인 직선이 $\displaystyle x$축과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{Q}_{n}(b_{n},0)$이라 한다.(iii) $\displaystyle \mathrm{Q}_{n}(b_{n},0)$을 지나고 기울기 $\displaystyle 1$인 직선이 곡선 $\displaystyle y=\sqrt{x}$와 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{P}_{n+1}(a_{n+1}^{2},a_{n+1})$이라 한다.

삼각형 $\displaystyle \mathrm{P}_{n}\mathrm{Q}_{n}\mathrm{P}_{n+1}$의 넓이를 $\displaystyle S_{n}$이라 할 때, 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{10}S_{n}$의 값을 구하시오.