창의형 2번

중앙대 2027학년도 모의 창의형 2번 · 해설강의 무료 공개 · mathesis.kr/archive/cau/2027mo/changui_2

[문제 2] (15점) 음함수 표현 $\displaystyle x^{4}+7x^{2}y^{2}+y^{4}=45$ 에 대하여 $\displaystyle x=a$ 에서 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=-1$ 이다. $\displaystyle a$ 의 값을 모두 구하시오. (단, $\displaystyle x>0$ 이고 $\displaystyle y>0$ 이다.)

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+5점 ·

\displaystyle 4x^{3}+14xy^{2}+14x^{2}y\frac{dy}{dx}+4y^{3}\frac{dy}{dx}=0

을 구하고

\displaystyle \frac{dy}{dx}=-1

을 대입하면

음함수 미분을 하면 $\displaystyle 4x^{3}+14xy^{2}+14x^{2}y\frac{dy}{dx}+4y^{3}\frac{dy}{dx}=0$ 이다. $\displaystyle \frac{dy}{dx}=-1$ 을 대입하고 정리하면

+4점 · 인수분해하여

\displaystyle (y-x)(2x-y)(x-2y)=0

을 구하면

$\displaystyle (y-x)(2x^{2}-5xy+2y^{2})=0$ 이다.(1) $\displaystyle y=x$ 이면 $\displaystyle x^{4}=5$ 이다.(2) $\displaystyle 2x^{2}-5xy+2y^{2}=(2x-y)(x-2y)=0$ 이므로 $\displaystyle y=2x$ , $\displaystyle y=\frac{1}{2}x$ 이다.

+6점 ·

\displaystyle a=5^{\frac{1}{4}}

, 1, 2 각 2점씩 합하여

$\displaystyle y=2x$ 이면 $\displaystyle x=1$ 이고 $\displaystyle y=\frac{1}{2}x$ 이면 $\displaystyle x=2$ 이다. 따라서 $\displaystyle a=5^{\frac{1}{4}}$ , 1, 2이다.

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 $\displaystyle 1$ ~ $\displaystyle 2$ 점의 부분 점수를 부여함.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 $\displaystyle -0.5$ ~ $\displaystyle +0.5$ 점 부여 가능함.

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