창의형 7번

타원의 접선 $\displaystyle y=mx\pm\sqrt{6m^{2}+3}$가 점 $\displaystyle \mathrm{P}(t,3)$을 지나면 $\displaystyle 3-mt=\pm\sqrt{6m^{2}+3}$이다. 양변을 제곱하여 정리해서 $\displaystyle m$에 관한 이차방정식 $\displaystyle (t^{2}-6)m^{2}-6tm+6=0$을 얻는다. 이 이차방정식의 두 근을 $\displaystyle m_{1}=\tan\theta_{1}$, $\displaystyle m_{2}=\tan\theta_{2}(m_{1}>m_{2})$라 하면, 근과 계수의 관계에 의하여 $\displaystyle m_{1}+m_{2}=\frac{6t}{t^{2}-6}$과 $\displaystyle m_{1}m_{2}=\frac{6}{t^{2}-6}$이다.Caution. $\displaystyle t^2=6$이면 수직인 접선이 있으므로 따로 확인해야 한다. 이때 다른 접선의 기울기는 $\displaystyle 1/t$이고 두 접선이 이루는 예각의 탄젠트는 $\displaystyle \sqrt6$이므로, 주어진 $\displaystyle 45^\circ$ 조건을 만족하지 않는다.

점 $\displaystyle \mathrm{P}$를 지나는 두 접선이 이루는 예각이 $\displaystyle \theta_{1}-\theta_{2}=45^{\circ}$이므로$\displaystyle 1=\tan^{2}(\theta_{1}-\theta_{2})=\left(\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}\right)^{2}=\frac{(m_{1}+m_{2})^{2}-4m_{1}m_{2}}{(1+m_{1}m_{2})^{2}}$이다.

$\displaystyle \frac{t^{4}}{(t^{2}-6)^{2}}=\left(1+m_{1}m_{2}\right)^{2}=(m_{1}+m_{2})^{2}-4m_{1}m_{2}=\frac{12t^{2}+144}{(t^{2}-6)^{2}}$에서 $\displaystyle t^{4}-12t^{2}-144=0$이다. $\displaystyle t^{2}\ge 0$이므로 $\displaystyle t^{2}=6+6\sqrt{5}$이다.