일반형 1번

무승부가 발생하면 동일한 확률 구조의 시행이 다시 시작되므로 최종 승리 확률은 반복 시행에 따른 등비급수로 아래와 같이 표현된다.한 번의 시행에서 무승부가 나올 확률을 $\displaystyle r$, 갑이 승자가 될 확률을 $\displaystyle p$, 을이 승자가 될 확률을 $\displaystyle q$라 하자. 갑이 승자가 될 확률은$\displaystyle p+rp+r^{2}p+\cdots=\frac{p}{1-r}$이고, 을이 승자가 될 확률은$\displaystyle q+rq+r^{2}q+\cdots=\frac{q}{1-r}$이다. 따라서 두 확률이 같아지는 경우는 $\displaystyle \frac{p}{1-r}=\frac{q}{1-r}$, 즉 $\displaystyle p=q$이므로 한 번의 시행에서 갑이 이길 확률과 을이 이길 확률만 고려하면 된다.

한 번의 시행에서 을이 승자가 될 경우는 아래와 같다.

따라서, 을이 꺼낸 카드가 $\displaystyle y$일 때, 을이 승자가 되는 경우의 수는 $\displaystyle y-1$이다. 단, 을이 $\displaystyle k$가 적힌 카드를 꺼낼 수 없으므로 해당 경우는 제외한다.을이 꺼낼 수 있는 카드 집합을 $\displaystyle S=\{1,2,\ldots,11\}-\{k\}$라 할 때, 을이 승자가 될 경우를 모두 구하면 $\displaystyle \sum_{y\in S}(y-1)=(0+1+\cdots+10)-(k-1)=56-k$이다. 따라서 을이 승자가 될 확률은 전체 경우의 수 $\displaystyle 10n$으로 나눈 $\displaystyle \frac{56-k}{10n}$이다.

한 번의 시행에서 무승부일 확률은 $\displaystyle X$와 $\displaystyle Y$의 값이 $\displaystyle S=\{1,2,\ldots,11\}-\{k\}$ 중 한 값으로 같아야 한다. 을이 어떤 카드를 내든 갑은 그와 똑같은 숫자의 카드를 무조건 1장씩 가지고 있으므로, 무승부일 확률은$\displaystyle 10\times\frac{1}{n}\times\frac{1}{10}=\frac{1}{n}$이다.

한 번의 시행에서 갑이 승자가 될 경우는 $\displaystyle X>Y$이며, 전체 확률이 1임을 이용하여$\displaystyle 1-\frac{1}{n}-\frac{56-k}{10n}=\frac{10n-66+k}{10n}$

따라서, 갑이 승자가 될 확률과 을이 승자가 될 확률을 같게 두면$\displaystyle \frac{10n-66+k}{10n}=\frac{56-k}{10n}$$\displaystyle 10n+2k=122$이며, $\displaystyle n\ge 11$인 범위에서 이를 만족하는 순서쌍 $\displaystyle (n,k)$는 $\displaystyle (11,6)$, $\displaystyle (12,1)$이다.