창의형 6번

$\displaystyle 2\le t\le 3$일 때 한 점에서 만나는 점이 $\displaystyle \mathrm{A}(0,1)$과 $\displaystyle \mathrm{B}(t,e^{t})$가 있다.

세 번째는 곡선 $\displaystyle y=e^{|x|}$과 접하는 점이다. 접점 $\displaystyle (x,e^{x})$와 $\displaystyle (t,0)$의 기울기를 고려하면 $\displaystyle \frac{e^{x}}{x-t}=e^{x}$를 만족하고 식을 정리하면 $\displaystyle x=t+1$이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{C}(t+1,e^{t+1})$이다.

점 $\displaystyle \mathrm{B}$, $\displaystyle \mathrm{C}$를 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle \left(e^{t+1}-e^{t}\right)x-y+e^{t}-t\left(e^{t+1}-e^{t}\right)=0$이다. $\displaystyle \mathrm{A}(0,1)$에서 직선까지 거리는 $\displaystyle \frac{\left|-1+e^{t}-t\left(e^{t+1}-e^{t}\right)\right|}{\sqrt{\left(e^{t+1}-e^{t}\right)^{2}+1}}$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=\sqrt{\left(e^{t+1}-e^{t}\right)^{2}+1}$이다. 따라서$\displaystyle S(t)=\frac{1}{2}\left((e-1)te^{t}-e^{t}+1\right)$

이고 구하는 정적분 값은 다음과 같다.$\displaystyle \frac{1}{2}\int_{2}^{3}\left((e-1)te^{t}-e^{t}+1\right)dt=\frac{1}{2}\left(2e^{4}-4e^{3}+2e^{2}+1\right)$